Номер 1428, страница 159 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 52. Равномерное прямолинейное движение. Графическое представление. Координаты движущихся тел. Графики проекций скорости и перемещения - номер 1428, страница 159.

Решение.

Дано:

Скорость дирижабля относительно воздуха, $v_д = 20$ м/с (направлена на юг)

Скорость ветра, $v_в = 10$ м/с (западный, т.е. направлен на восток)

Найти:

1. Результирующую скорость $v_{рез1}$ и угол $\alpha$ к меридиану, если дирижабль продолжает лететь на юг относительно воздуха.

2. Угол $\beta$ к меридиану, под которым должен лететь дирижабль относительно воздуха, чтобы двигаться строго на юг относительно земли, и его результирующую скорость $v_{рез2}$ в этом случае.

Решение:

Задачу можно разбить на две части, соответствующие вопросам.

С какой скоростью и под каким углом к меридиану будет лететь дирижабль, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

В этом случае скорость дирижабля относительно земли ($ \vec{v}_{рез1} $) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($ \vec{v}_д $) и скорости ветра ($ \vec{v}_в $). Вектор скорости дирижабля $ \vec{v}_д $ направлен на юг, а вектор скорости ветра $ \vec{v}_в $ — на восток (так как ветер западный, он дует с запада на восток). Эти векторы перпендикулярны друг другу.

Модуль результирующей скорости найдем по теореме Пифагора, так как векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник:

$ v_{рез1} = \sqrt{v_д^2 + v_в^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22,4 $ м/с.

Угол $ \alpha $ отклонения от меридиана (направления на юг) найдем из того же прямоугольного треугольника скоростей:

$ \text{tg}(\alpha) = \frac{v_в}{v_д} = \frac{10}{20} = 0.5 $

$ \alpha = \text{arctg}(0.5) \approx 26,6^{\circ} $

Так как ветер дует на восток, дирижабль будет отклоняться к востоку от меридиана.

Ответ: дирижабль будет лететь со скоростью $10\sqrt{5}$ м/с (приблизительно 22,4 м/с) под углом $\text{arctg}(0.5)$ (приблизительно $26,6^{\circ}$) к меридиану в сторону востока.

Под каким углом к меридиану должен лететь дирижабль, чтобы при данном ветре он продолжал лететь на юг? Какова в этом случае будет его скорость?

Чтобы дирижабль летел строго на юг, его результирующая скорость относительно земли ($ \vec{v}_{рез2} $) должна быть направлена на юг. Это означает, что восточная составляющая скорости, создаваемая ветром, должна быть полностью скомпенсирована западной составляющей скорости дирижабля относительно воздуха. То есть, дирижабль должен лететь под некоторым углом $ \beta $ к меридиану в сторону запада.

В этом случае вектор скорости дирижабля относительно воздуха $ \vec{v'}_д $ (гипотенуза), вектор скорости ветра $ \vec{v}_в $ (катет) и результирующий вектор скорости $ \vec{v}_{рез2} $ (катет) снова образуют прямоугольный треугольник.

Модуль скорости дирижабля относительно воздуха по-прежнему равен $ v'_д = 20 $ м/с. Скорость ветра $ v_в = 10 $ м/с.

Угол $ \beta $, под которым дирижабль должен лететь к меридиану, найдем из соотношения синуса в прямоугольном треугольнике скоростей:

$ \sin(\beta) = \frac{v_в}{v'_д} = \frac{10}{20} = 0.5 $

$ \beta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ} $

Этот угол отсчитывается от меридиана в сторону запада.

Результирующую скорость дирижабля относительно земли $ v_{рез2} $ найдем по теореме Пифагора:

$ (v'_д)^2 = v_в^2 + (v_{рез2})^2 $

$ v_{рез2} = \sqrt{(v'_д)^2 - v_в^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17,3 $ м/с.

Ответ: чтобы продолжать лететь на юг, дирижабль должен держать курс под углом $30^{\circ}$ к меридиану в сторону запада. Его скорость относительно земли будет равна $10\sqrt{3}$ м/с (приблизительно 17,3 м/с).