Номер 1522, страница 172 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 54. Свободное падение тел. Движение тела, брошенного вертикально вверх - номер 1522, страница 172.

Решение.

Дано:

Тело брошено вертикально вверх.

$\text{h}$ - максимальная высота подъема.

$t_{подъема}$ - время подъема на высоту $\text{h}$.

$t_{падения}$ - время падения с высоты $\text{h}$.

Движение происходит только под действием силы тяжести (сопротивление воздуха отсутствует).

Найти:

Доказать: $t_{подъема} = t_{падения}$.

Решение:

Для доказательства рассмотрим отдельно фазу подъема и фазу падения. Выберем систему отсчета, в которой ось OY направлена вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) совпадает с точкой броска.

1. Подъем тела.

При движении вверх тело имеет начальную скорость $v_0$ и движется с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $\text{g}$, направленным вниз. Проекция ускорения на ось OY будет $a_y = -g$.

В верхней точке траектории (на максимальной высоте $\text{h}$) скорость тела становится равной нулю. Используя уравнение для скорости при равноускоренном движении $v = v_0 + a_y t$, найдем время подъема $t_{подъема}$:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда время подъема равно:

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$ (1)

Максимальную высоту подъема $\text{h}$ можно выразить через начальную скорость. Воспользуемся формулой $h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_y}$:

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{v_0^2}{2g}$ (2)

2. Падение тела.

Тело начинает падать с высоты $\text{h}$ без начальной скорости (начальная скорость для этой фазы движения равна нулю). Ускорение тела по-прежнему равно $a_y = -g$.

Найдем время падения $t_{падения}$, используя уравнение для координаты при равноускоренном движении $y = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$. Здесь начальная координата $y_0 = h$, конечная $y=0$, начальная скорость $v_{0y} = 0$.

$0 = h + 0 \cdot t_{падения} + \frac{(-g)t_{падения}^2}{2}$

$h = \frac{g t_{падения}^2}{2}$

Выразим время падения:

$t_{падения}^2 = \frac{2h}{g} \implies t_{падения} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ (3)

Теперь подставим в полученное выражение для времени падения (3) выражение для высоты $\text{h}$ из формулы (2):

$t_{падения} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \left(\frac{v_0^2}{2g}\right)} = \sqrt{\frac{2v_0^2}{2g^2}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}}$

Поскольку время — величина положительная, получаем:

$t_{падения} = \frac{v_0}{g}$ (4)

Сравнивая выражения (1) и (4), мы видим, что время подъема и время падения равны:

$t_{подъема} = t_{падения} = \frac{v_0}{g}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что время, в течение которого движущееся вертикально вверх тело достигает наибольшей высоты $\text{h}$, равно времени, в течение которого тело падает с этой высоты. Это равенство следует из уравнений равноускоренного движения при условии отсутствия сопротивления воздуха.