Номер 1531, страница 173 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 54. Свободное падение тел. Движение тела, брошенного вертикально вверх - номер 1531, страница 173.

Решение.

Дано:

$t = 2,5$ с

$v_{зв} = 340$ м/с

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$\text{h}$ — глубину пропасти.

Решение:

Общее время $\text{t}$, которое прошло с момента падения камня до момента, когда звук достиг верха, состоит из двух частей: времени падения камня $t_1$ и времени распространения звука от дна до верха $t_2$.

$t = t_1 + t_2$

Глубину пропасти $\text{h}$ можно выразить двумя способами.

1. Через время свободного падения камня (движение равноускоренное, начальная скорость равна нулю):

$h = \frac{g t_1^2}{2}$

2. Через время распространения звука (движение равномерное со скоростью звука $v_{зв}$):

$h = v_{зв} \cdot t_2$

Так как глубина $\text{h}$ в обоих случаях одна и та же, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{g t_1^2}{2} = v_{зв} \cdot t_2$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = t - t_1$. Подставим это выражение в наше равенство:

$\frac{g t_1^2}{2} = v_{зв} \cdot (t - t_1)$

Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной $t_1$. Преобразуем его в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{g}{2} t_1^2 = v_{зв} t - v_{зв} t_1$

$\frac{g}{2} t_1^2 + v_{зв} t_1 - v_{зв} t = 0$

Подставим известные значения ($g = 9,8$ м/с², $v_{зв} = 340$ м/с, $t = 2,5$ с):

$\frac{9,8}{2} t_1^2 + 340 t_1 - 340 \cdot 2,5 = 0$

$4,9 t_1^2 + 340 t_1 - 850 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = 340^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-850) = 115600 + 16660 = 132260$

$\sqrt{D} = \sqrt{132260} \approx 363,68$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-340 \pm 363,68}{2 \cdot 4,9} = \frac{-340 \pm 363,68}{9,8}$

Так как время не может быть отрицательным, нас интересует только положительный корень:

$t_1 = \frac{-340 + 363,68}{9,8} = \frac{23,68}{9,8} \approx 2,416$ с

Теперь, зная время падения камня $t_1$, мы можем найти глубину пропасти $\text{h}$ по формуле свободного падения:

$h = \frac{g t_1^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (2,416)^2}{2} \approx 4,9 \cdot 5,837 \approx 28,6$ м

Для проверки можно найти $\text{h}$ через время распространения звука:

$t_2 = t - t_1 = 2,5 - 2,416 = 0,084$ с

$h = v_{зв} \cdot t_2 = 340 \cdot 0,084 \approx 28,56$ м

Результаты совпадают с учетом округлений.

Ответ: глубина пропасти составляет примерно $28,6$ м.