Номер 1537, страница 173 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 54. Свободное падение тел. Движение тела, брошенного вертикально вверх - номер 1537, страница 173.

Решение.

Дано:

Высота, с которой брошен мяч: $h = 25$ м

Начальная горизонтальная скорость: $v_0 = 15$ м/с

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

1) время полета мяча ($\text{t}$)

2) на каком расстоянии от основания башни он упадет ($\text{L}$)

3) скорость мяча в момент падения на землю ($\text{v}$)

4) угол, который составит траектория мяча с горизонтом в точке падения ($\beta$)

Решение:

В соответствии с условием, выберем систему координат с началом в точке броска. Ось $OX$ направим горизонтально в направлении полета, а ось $OY$ — вертикально вниз.

В этой системе координат начальные условия движения мяча будут следующими:

Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.

Проекции начальной скорости на оси: $v_{0x} = v_0 = 15$ м/с, $v_{0y} = 0$.

Проекции ускорения на оси: $a_x = 0$, $a_y = g = 10$ м/с².

Законы движения (зависимость координат от времени) и скорости для мяча имеют вид:

$x(t) = v_{0x}t = v_0 t$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

$v_x(t) = v_{0x} = v_0$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = gt$

1) время полета мяча

Полет продолжается до тех пор, пока мяч не достигнет земли. В выбранной нами системе координат земля находится на уровне $y = h$. Подставим это значение в уравнение для $y(t)$, чтобы найти полное время полета $\text{t}$.

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выражаем время полета $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставляем числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 25 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{50}{10}} \text{ с} = \sqrt{5} \text{ с} \approx 2.24 \text{ с}$

Ответ: время полета мяча составляет $\sqrt{5}$ с, что примерно равно $2.24$ с.

2) на каком расстоянии от основания башни он упадет

Это расстояние (горизонтальная дальность полета $\text{L}$) равно значению координаты $\text{x}$ в момент времени $\text{t}$, когда мяч коснется земли.

$L = x(t) = v_0 t$

Подставляем известные значения:

$L = 15 \text{ м/с} \cdot \sqrt{5} \text{ с} = 15\sqrt{5} \text{ м} \approx 33.54 \text{ м}$

Ответ: мяч упадет на расстоянии $15\sqrt{5}$ м (примерно $33.54$ м) от основания башни.

3) скорость мяча в момент падения на землю

Скорость в момент падения $\text{v}$ — это векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих скорости в момент времени $\text{t}$.

Горизонтальная составляющая скорости постоянна: $v_x = v_0 = 15$ м/с.

Вертикальная составляющая скорости в момент падения: $v_y = gt = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{5} \text{ с} = 10\sqrt{5}$ м/с.

Полная скорость $\text{v}$ находится по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$

$v = \sqrt{(15 \text{ м/с})^2 + (10\sqrt{5} \text{ м/с})^2} = \sqrt{225 + 100 \cdot 5} \text{ м/с} = \sqrt{225 + 500} \text{ м/с} = \sqrt{725} \text{ м/с}$

Упростим корень: $\sqrt{725} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}$.

$v = 5\sqrt{29} \text{ м/с} \approx 26.93 \text{ м/с}$

Ответ: скорость мяча в момент падения на землю равна $5\sqrt{29}$ м/с, что примерно составляет $26.93$ м/с.

4) угол, который составит траектория мяча с горизонтом в точке падения

Угол $\beta$, который вектор скорости составляет с горизонтом, можно найти через тангенс отношения вертикальной и горизонтальной составляющих скорости.

$\tan(\beta) = \frac{v_y}{v_x}$

Подставим значения составляющих скорости в момент падения:

$\tan(\beta) = \frac{10\sqrt{5} \text{ м/с}}{15 \text{ м/с}} = \frac{2\sqrt{5}}{3} \approx 1.491$

Теперь найдем сам угол, взяв арктангенс от этого значения:

$\beta = \arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right) \approx 56.15^\circ$

Ответ: траектория мяча в точке падения составит с горизонтом угол примерно $56.15^\circ$.