Номер 199, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 199, страница 65.

Условие.

199. Прямая $p$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $BC$ и $AC$ пересекают прямую $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Докажем утверждение для каждой прямой по отдельности.

Сначала рассмотрим прямую AC. Предположим, что прямая AC не пересекает прямую p. Если две различные прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, из нашего предположения следует, что прямая AC параллельна прямой p, то есть $AC \parallel p$.

По условию задачи нам дано, что прямая p параллельна стороне AB треугольника ABC, то есть $p \parallel AB$.

Теперь у нас есть два факта: $AC \parallel p$ (наше предположение) и $p \parallel AB$ (условие). Согласно свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем заключить, что $AC \parallel AB$.

Однако прямые AC и AB являются сторонами треугольника ABC и имеют общую вершину A. Две прямые, имеющие общую точку, не могут быть параллельными, так как по определению параллельные прямые не имеют общих точек. Единственный случай, когда прямые с общей точкой параллельны — это когда они совпадают, но тогда точки A, B, C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника. Следовательно, мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, прямая AC должна пересекать прямую p.

Теперь аналогично докажем для прямой BC. Предположим, что прямая BC не пересекает прямую p. Тогда из этого следует, что $BC \parallel p$. Так как по условию $p \parallel AB$, то по свойству транзитивности мы получаем, что $BC \parallel AB$.

Но прямые BC и AB — это стороны треугольника ABC, которые имеют общую точку B. Следовательно, они не могут быть параллельными. Мы снова пришли к противоречию.

Это означает, что наше предположение о том, что BC не пересекает p, также неверно. Следовательно, прямая BC пересекает прямую p.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, BC и AC, пересекают прямую p.

Ответ: Что и требовалось доказать.