Номер 200, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 200, страница 65.

Условие.

200 На рисунке 117 $AD \parallel p$ и $PQ \parallel BC$. Докажите, что прямая $p$ пересекает прямые AB, AE, AC, BC и PQ.

Рис. 117

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся аксиомами и теоремами планиметрии, а также данными из условия задачи: $AD \parallel p$ и $PQ \parallel BC$.

AB

Две прямые на плоскости могут быть либо параллельны, либо пересекаться. Прямая $AB$ не параллельна прямой $AD$, так как они имеют общую точку $A$. По условию задачи $p \parallel AD$. Если бы прямая $AB$ была параллельна прямой $p$, то она была бы параллельна и прямой $AD$ (свойство транзитивности параллельных прямых), что противоречит тому, что они пересекаются. Следовательно, прямые $p$ и $AB$ не параллельны и должны пересекаться.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AB$.

AE

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, прямая $AE$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$, а значит, не параллельна ей. Поскольку $p \parallel AD$, то прямая $p$ также не может быть параллельна прямой $AE$. Таким образом, прямые $p$ и $AE$ должны пересекаться.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AE$.

AC

Прямая $AC$ и прямая $AD$ имеют общую точку $A$, поэтому они не параллельны. Из условия $p \parallel AD$ следует, что прямая $p$ не параллельна прямой $AC$. Следовательно, прямые $p$ и $AC$ пересекаются.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AC$.

BC

Рассмотрим прямую $AD$. Так как точка $D$ принадлежит отрезку $BC$ (согласно рисунку, $D$ лежит между $B$ и $C$), то точки $B$ и $C$ находятся по разные стороны от прямой $AD$. По условию $p \parallel AD$. Это означает, что прямая $p$ также разделяет точки $B$ и $C$, то есть они лежат по разные стороны от прямой $p$. Согласно аксиоме о разделении плоскости, отрезок, концы которого лежат по разные стороны от прямой, пересекает эту прямую. Значит, отрезок $BC$ пересекает прямую $p$, и, следовательно, прямая $BC$ пересекает прямую $p$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $BC$.

PQ

По условию задачи $PQ \parallel BC$. В предыдущем пункте было доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $BC$. Согласно теореме, если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую, за исключением случая, когда она параллельна им обеим. Проверим, может ли прямая $p$ быть параллельна прямой $BC$. Нам дано, что $p \parallel AD$. Если предположить, что $p \parallel BC$, то из этого следовало бы, что $AD \parallel BC$. Однако прямая $AD$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, поэтому они не параллельны. Следовательно, прямая $p$ не параллельна прямой $BC$ (а значит и прямой $PQ$). Так как прямая $p$ пересекает $BC$ и не параллельна $PQ$, она обязана пересекать и прямую $PQ$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $PQ$.