Номер 951, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 951, страница 233.

Условие.

951 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если:

а) A (–3; –1), B (1; –1), C (1; –3), D (–3; –3);

б) A (4; 1), B (3; 5), C (–1; 4), D (0; 0).

Применение метода координат к решению задач

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что четырёхугольник является прямоугольником, нужно показать, что его противоположные стороны попарно равны (это докажет, что он является параллелограммом) и что у него есть хотя бы один прямой угол. Прямой угол можно доказать, показав, что для треугольника, образованного двумя смежными сторонами и диагональю, выполняется теорема Пифагора. Также можно доказать, что диагонали четырёхугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника находится как произведение длин его смежных сторон.

Для решения будем использовать формулу расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

а)

Даны координаты вершин четырёхугольника: $A(-3; -1)$, $B(1; -1)$, $C(1; -3)$, $D(-3; -3)$.

1. Найдем длины сторон четырёхугольника ABCD.

Длина стороны $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Длина стороны $BC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.

Длина стороны $CD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Длина стороны $DA = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку $AB = CD = 4$ и $BC = DA = 2$, противоположные стороны четырёхугольника равны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

2. Проверим наличие прямого угла.

Для этого найдем длину диагонали $AC$ и проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника $ABC$.

Длина диагонали $AC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Проверим равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$:

$(\sqrt{20})^2 = 4^2 + 2^2$

$20 = 16 + 4$

$20 = 20$

Равенство выполняется, значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный, а угол $\angle B = 90^\circ$. Так как ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

3. Найдем площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, его площадь равна 8.

б)

Даны координаты вершин четырёхугольника: $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $D(0; 0)$.

1. Найдем квадраты длин сторон четырёхугольника ABCD.

$AB^2 = (3 - 4)^2 + (5 - 1)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.

$BC^2 = (-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.

$CD^2 = (0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

$DA^2 = (4 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$.

Так как квадраты длин всех сторон равны ($AB^2 = BC^2 = CD^2 = DA^2 = 17$), то и сами стороны равны. Следовательно, ABCD — ромб.

2. Проверим, является ли ромб прямоугольником.

Ромб является прямоугольником (то есть квадратом), если его диагонали равны. Найдем квадраты длин диагоналей $AC$ и $BD$.

$AC^2 = (-1 - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (-5)^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

$BD^2 = (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (-3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$.

Поскольку $AC^2 = BD^2$, то диагонали ромба равны. Это означает, что ромб ABCD является квадратом, а любой квадрат — это прямоугольник.

3. Найдем площадь.

Площадь равна произведению длин смежных сторон:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 17$.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником (квадратом), его площадь равна 17.