Номер 954, страница 234 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 954, страница 234.

Условие.

954 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC$. Пусть $BH$ — медиана, проведённая к основанию $AC$. По условию, длина медианы $BH = 160$ см, а длина основания $AC = 80$ см.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BH$ является высотой, и треугольник $BHC$ — прямоугольный с прямым углом $H$. Так как $BH$ — медиана, точка $H$ делит основание $AC$ пополам: $HC = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдём длину боковой стороны $BC$ (гипотенузы): $BC^2 = BH^2 + HC^2$ $BC^2 = 160^2 + 40^2 = 25600 + 1600 = 27200$ $BC = \sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB = BC = 40\sqrt{17}$ см.

Теперь нам нужно найти две другие медианы. Пусть $AM$ — медиана, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$, а $CN$ — медиана, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны. Таким образом, $AM = CN$. Найдём длину одной из них, например, $AM$.

Длину медианы треугольника ($m_a$), проведённой к стороне $a$, можно найти по формуле: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника.

В нашем случае, для медианы $AM$, проведённой к стороне $BC$:

• сторона $a = BC = 40\sqrt{17}$ см
• сторона $b = AC = 80$ см
• сторона $c = AB = 40\sqrt{17}$ см

Подставим значения в формулу: $AM^2 = \frac{2(AC)^2 + 2(AB)^2 - (BC)^2}{4}$ $AM^2 = \frac{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot (40\sqrt{17})^2 - (40\sqrt{17})^2}{4}$ $AM^2 = \frac{2 \cdot 6400 + (40\sqrt{17})^2}{4}$ $AM^2 = \frac{12800 + 27200}{4}$ $AM^2 = \frac{40000}{4} = 10000$ $AM = \sqrt{10000} = 100$ см.

Так как $AM = CN$, то длина второй медианы также равна 100 см.

Ответ: Две другие медианы равны, и их длина составляет 100 см каждая.