Номер 949, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 949, страница 233.

Условие.

949 На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек:

a) $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$.

б) $C(1; 1)$ и $D(3; 5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Пусть искомая точка на оси абсцисс, назовем ее $M$, имеет координаты $(x; 0)$, так как ее ордината равна нулю. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$. Это означает, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$, то есть $MA = MB$.

Чтобы упростить вычисления и избежать извлечения квадратных корней, будем использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $A(1; 2)$:
$MA^2 = (1 - x)^2 + (2 - 0)^2 = (1 - x)^2 + 4$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $B(-3; 4)$:
$MB^2 = (-3 - x)^2 + (4 - 0)^2 = (-(3 + x))^2 + 16 = (3 + x)^2 + 16$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим уравнение относительно $x$:
$(1 - x)^2 + 4 = (3 + x)^2 + 16$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности:
$1 - 2x + x^2 + 4 = 9 + 6x + x^2 + 16$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = 6x + 25$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$5 - 25 = 6x + 2x$
$-20 = 8x$
$x = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Следовательно, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(-2.5; 0)$.

Ответ: $(-2.5; 0)$.

б) Аналогично, найдем точку $M(x; 0)$ на оси абсцисс, равноудаленную от точек $C(1; 1)$ и $D(3; 5)$. Условие равноудаленности: $MC = MD$, или $MC^2 = MD^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $C(1; 1)$:
$MC^2 = (1 - x)^2 + (1 - 0)^2 = (1 - x)^2 + 1$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $D(3; 5)$:
$MD^2 = (3 - x)^2 + (5 - 0)^2 = (3 - x)^2 + 25$.

Приравняем квадраты расстояний и решим уравнение:
$(1 - x)^2 + 1 = (3 - x)^2 + 25$
$1 - 2x + x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2 + 25$
$x^2 - 2x + 2 = x^2 - 6x + 34$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 2 = -6x + 34$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$6x - 2x = 34 - 2$
$4x = 32$
$x = \frac{32}{4} = 8$

Следовательно, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(8; 0)$.

Ответ: $(8; 0)$.