Номер 952, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 952, страница 233.

Условие.

952 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим буквой M середину гипотенузы AB.

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 282. Если BC = a, AC = b, то вершины треугольника имеют координаты C (0; 0), B (a; 0), A (0; b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки M:

$M\left(\frac{a}{2} ; \frac{b}{2}\right)$

Рис. 282

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков MC и MA:

$MC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$MA = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-b\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Таким образом, $MA = MB = MC$, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Для доказательства используем метод координат. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат $(0; 0)$, катет $BC$ лежал на оси $Ox$, а катет $AC$ — на оси $Oy$. Обозначим длины катетов как $BC = a$ и $AC = b$.

В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $C(0; 0)$
• $B(a; 0)$
• $A(0; b)$

Поскольку точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, её координаты можно найти по формуле координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

Теперь нам нужно доказать, что точка $M$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника, то есть что $MA = MB = MC$.

По определению середины отрезка, $MA = MB$. Следовательно, нам достаточно доказать, что $MC = MA$.

Найдём длины отрезков $MC$ и $MA$, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Расстояние от $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ до $C(0; 0)$:

$MC = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$

2. Расстояние от $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ до $A(0; b)$:

$MA = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - b)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$

Мы видим, что $MC = MA = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$.

Таким образом, $MA = MB = MC$, что и доказывает, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Ответ: Утверждение доказано.