Номер 952, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 952, страница 233.

Условие.

952 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим буквой M середину гипотенузы AB.

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 282. Если BC = a, AC = b, то вершины треугольника имеют координаты C (0; 0), B (a; 0), A (0; b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки M:

$M\left(\frac{a}{2} ; \frac{b}{2}\right)$

Рис. 282

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков MC и MA:

$MC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$MA = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-b\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Таким образом, $MA = MB = MC$, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.