Номер 958, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 958, страница 235.

Условие.

958 Дан прямоугольник $ABCD$. Докажите, что для произвольной точки $M$ плоскости справедливо равенство

$AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, сторона $AB$ лежала на оси $Ox$, а сторона $AD$ — на оси $Oy$.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:
$A(0, 0)$
$B(a, 0)$
$D(0, b)$
$C(a, b)$

Пусть $M$ — произвольная точка на плоскости с координатами $(x, y)$.

Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$DM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$

Теперь составим и вычислим сумму $AM^2 + CM^2$:

$AM^2 + CM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Далее составим и вычислим сумму $BM^2 + DM^2$:

$BM^2 + DM^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для сумм $AM^2 + CM^2$ и $BM^2 + DM^2$, мы видим, что они тождественно равны:

$AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$

Это равенство справедливо для любых координат $(x, y)$ точки $M$, а значит, для любой точки на плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$ доказано.