Номер 957, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 957, страница 235.

Условие.

957 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, его диагонали равны: $AC = BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:

• $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма).
• $AD$ — общая сторона.
• $BD = AC$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует, что равны и их соответствующие углы: $\angle BAD = \angle CDA$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AD$ это углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$. Таким образом, $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$.

Поскольку эти углы равны, то каждый из них должен быть равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол является прямым, по определению является прямоугольником.

Следовательно, параллелограмм $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.