Номер 955, страница 234 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 955, страница 234.

Условие.

955 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором из вершины $B$ на основание $AC$ опущена высота $BH$. По условию задачи, высота $BH = 10$ см. Высота делит основание $AC$ на два отрезка: $AH = 10$ см и $HC = 4$ см. Полная длина основания $AC$ равна сумме длин этих отрезков: $AC = AH + HC = 10 + 4 = 14$ см.

1. Найдем длины боковых сторон треугольника
Высота $BH$ является катетом для двух прямоугольных треугольников: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Найдем гипотенузы этих треугольников (стороны $AB$ и $BC$) по теореме Пифагора.
Для $\triangle ABH$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$
$AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.
Для $\triangle CBH$:
$BC^2 = HC^2 + BH^2 = 4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$
$BC = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см.

2. Определим меньшую из двух других сторон
Теперь необходимо найти медиану, проведенную к меньшей из двух сторон $AB$ и $BC$. Сравним квадраты их длин:
$AB^2 = 200$
$BC^2 = 116$
Поскольку $116 < 200$, то сторона $BC$ меньше стороны $AB$.

3. Найдем длину медианы, проведенной к меньшей стороне
Требуется найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$. Обозначим эту медиану как $m_{BC}$. Воспользуемся формулой для вычисления длины медианы, проведенной к стороне $a$ в треугольнике со сторонами $a, b, c$:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
В нашем случае:
сторона $a = BC$, ее квадрат $a^2 = 116$;
сторона $b = AC = 14$, ее квадрат $b^2 = 196$;
сторона $c = AB$, ее квадрат $c^2 = 200$.
Подставляем значения в формулу:
$m_{BC} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2}$
$m_{BC} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 196 + 2 \cdot 200 - 116}$
$m_{BC} = \frac{1}{2}\sqrt{392 + 400 - 116}$
$m_{BC} = \frac{1}{2}\sqrt{676}$
$m_{BC} = \frac{1}{2} \cdot 26$
$m_{BC} = 13$ см.

Ответ: 13 см.