Номер 948, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 948, страница 233.

Условие.

948 На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек:

а) $A(-3; 5)$ и $B(6; 4)$;

б) $C(4; -3)$ и $D(8; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Задача состоит в том, чтобы найти на оси ординат (оси y) точку, которая находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек. Точка, лежащая на оси ординат, имеет координату абсциссы (x), равную нулю. Обозначим искомую точку как $M(0; y)$.

Расстояние $d$ между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Для удобства будем использовать квадраты расстояний, так как если расстояния равны, то и их квадраты равны: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

а)

Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $A(-3; 5)$ и $B(6; 4)$. По условию, расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$, то есть $MA = MB$. Следовательно, квадраты этих расстояний также равны: $MA^2 = MB^2$.

Выразим квадрат расстояния $MA^2$: $MA^2 = (-3 - 0)^2 + (5 - y)^2 = (-3)^2 + (5 - y)^2 = 9 + 25 - 10y + y^2 = 34 - 10y + y^2$.

Выразим квадрат расстояния $MB^2$: $MB^2 = (6 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 6^2 + (4 - y)^2 = 36 + 16 - 8y + y^2 = 52 - 8y + y^2$.

Приравняем полученные выражения: $34 - 10y + y^2 = 52 - 8y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения: $34 - 10y = 52 - 8y$

Решим линейное уравнение относительно $y$: $10y - 8y = 34 - 52$ $2y = -18$ $y = -9$

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -9)$.
Ответ: $(0; -9)$.

б)

Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $C(4; -3)$ и $D(8; 1)$. По условию, $MC = MD$, следовательно, $MC^2 = MD^2$.

Выразим квадрат расстояния $MC^2$: $MC^2 = (4 - 0)^2 + (-3 - y)^2 = 4^2 + (-(3 + y))^2 = 16 + (3 + y)^2 = 16 + 9 + 6y + y^2 = 25 + 6y + y^2$.

Выразим квадрат расстояния $MD^2$: $MD^2 = (8 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 8^2 + (1 - y)^2 = 64 + 1 - 2y + y^2 = 65 - 2y + y^2$.

Приравняем полученные выражения: $25 + 6y + y^2 = 65 - 2y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения: $25 + 6y = 65 - 2y$

Решим линейное уравнение относительно $y$: $6y + 2y = 65 - 25$ $8y = 40$ $y = 5$

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; 5)$.
Ответ: $(0; 5)$.