Номер 945, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 945, страница 233.

Условие.

945 Найдите сторону $AC$ и диагональ $OC$ трапеции $OBCA$ с основаниями $OA = a$ и $BC = d$, если точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а вершина $B$ имеет координаты $(b; c)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку $O$. Таким образом, ее координаты будут $(0; 0)$.

Согласно условию, точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а длина отрезка $OA$ равна $a$. Следовательно, координаты точки $A$ будут $(a; 0)$.

Координаты вершины $B$ даны в условии и равны $(b; c)$.

Трапеция называется $OBCA$, а ее основаниями являются $OA$ и $BC$. Это означает, что прямая $BC$ параллельна прямой $OA$. Поскольку $OA$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), то прямая $BC$ параллельна оси $Ox$. Это значит, что все точки на прямой $BC$ имеют одинаковую ординату (координату $y$). Так как ордината точки $B$ равна $c$, то и ордината точки $C$ также будет равна $c$. Обозначим абсциссу точки $C$ за $x_C$. Тогда координаты точки $C$ будут $(x_C; c)$.

Длина основания $BC$ равна $d$. Выразим эту длину через координаты точек $B(b; c)$ и $C(x_C; c)$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = BC = \sqrt{(x_C - b)^2 + (c - c)^2} = \sqrt{(x_C - b)^2} = |x_C - b|$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x_C$: $x_C = b + d$ или $x_C = b - d$. В задачах по геометрии, если не указано иное, предполагается, что вершины фигуры перечисляются в порядке обхода без самопересечений, и векторы оснований $\vec{OA}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Вектор $\vec{OA}$ имеет координаты $(a; 0)$ и направлен в положительную сторону оси $Ox$ (при $a>0$). Чтобы вектор $\vec{BC}=(x_C-b; 0)$ был ему сонаправлен, его первая координата должна быть положительной. Выбираем $x_C - b = d$, откуда $x_C = b + d$.

Итак, координаты вершины $C$ равны $(b+d; c)$.

Теперь мы можем найти требуемые длины.

Найдем сторону AC

Найдем расстояние между точками $A(a; 0)$ и $C(b+d; c)$:

$AC = \sqrt{((b+d) - a)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b+d-a)^2 + c^2}$

Ответ: $AC = \sqrt{(b+d-a)^2 + c^2}$

Найдем диагональ OC

Найдем расстояние между точками $O(0; 0)$ и $C(b+d; c)$:

$OC = \sqrt{((b+d) - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b+d)^2 + c^2}$

Ответ: $OC = \sqrt{(b+d)^2 + c^2}$