Номер 944, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 944, страница 233.

Условие.

944 Вершина $A$ параллелограмма $OACB$ лежит на положительной полуоси $Ox$, вершина $B$ имеет координаты $(b; c)$, а $OA = a$. Найдите:

а) координаты вершины $C$;

б) сторону $AC$ и диагональ $CO$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) координаты вершины С

Поскольку OACB является параллелограммом, мы можем использовать правило сложения векторов. Примем точку O за начало координат, то есть ее координаты $O(0; 0)$.

Вершина A лежит на положительной полуоси Ox, и дано, что $OA = a$. Это означает, что координаты вершины A равны $A(a; 0)$.

Координаты вершины B даны по условию: $B(b; c)$.

Для параллелограмма OACB, построенного на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, вектор диагонали $\vec{OC}$ равен сумме этих векторов: $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$.

Найдем координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$: $\vec{OA} = (a - 0; 0 - 0) = (a; 0)$ $\vec{OB} = (b - 0; c - 0) = (b; c)$

Теперь сложим координаты векторов, чтобы найти координаты вектора $\vec{OC}$, которые и будут координатами точки C: $C = (x_A + x_B; y_A + y_B) = (a + b; 0 + c) = (a+b; c)$.

Ответ: $C(a+b; c)$

б) сторону АС и диагональ СО

Чтобы найти длину стороны AC, можно воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому противолежащие стороны равны. В параллелограмме OACB сторона AC равна стороне OB.

Найдем длину стороны OB как расстояние от начала координат $O(0; 0)$ до точки $B(b; c)$: $|OB| = \sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$. Следовательно, длина стороны AC также равна: $AC = \sqrt{b^2 + c^2}$.

Чтобы найти длину диагонали CO, найдем расстояние от начала координат $O(0; 0)$ до точки $C(a+b; c)$, координаты которой мы нашли в пункте а): $|CO| = \sqrt{((a+b)-0)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{(a+b)^2 + c^2}$.

Ответ: $AC = \sqrt{b^2 + c^2}$, $CO = \sqrt{(a+b)^2 + c^2}$