Номер 950, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 950, страница 233.

Условие.

950 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:

a) M $(1; 1)$, N $(6; 1)$, P $(7; 4)$, Q $(2; 4)$;

б) M $(-5; 1)$, N $(-4; 4)$, P $(-1; 5)$, Q $(-2; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его признаков. Например, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны и параллельны, то это параллелограмм. В координатной геометрии это условие равносильно равенству векторов, соответствующих этим сторонам.

Заданы координаты вершин: M(1; 1), N(6; 1), P(7; 4), Q(2; 4).

Найдем координаты векторов, соответствующих противолежащим сторонам MN и QP. Координаты вектора, соединяющего точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = (6 - 1; 1 - 1) = (5; 0)$.

Координаты вектора $\vec{QP}$:

$\vec{QP} = (7 - 2; 4 - 4) = (5; 0)$.

Так как векторы $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$ имеют одинаковые координаты, то они равны. Это означает, что стороны MN и QP параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник MNPQ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Теперь найдем длины его диагоналей MP и NQ. Длина отрезка между точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина диагонали MP:

$|MP| = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Длина диагонали NQ:

$|NQ| = \sqrt{(2 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: длины диагоналей равны $3\sqrt{5}$ и $5$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что MNPQ является параллелограммом, сравнив векторы его противолежащих сторон. Координаты вершин: M(-5; 1), N(-4; 4), P(-1; 5), Q(-2; 2).

Найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$.

$\vec{MN} = (-4 - (-5); 4 - 1) = (-4 + 5; 3) = (1; 3)$.

$\vec{QP} = (-1 - (-2); 5 - 2) = (-1 + 2; 3) = (1; 3)$.

Поскольку векторы $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$ равны, стороны MN и QP параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник MNPQ является параллелограммом.

Найдем длины диагоналей MP и NQ.

Длина диагонали MP:

$|MP| = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1 + 5)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Длина диагонали NQ:

$|NQ| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: длины диагоналей равны $4\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$.