Номер 946, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 946, страница 233.

Условие.

946 Найдите $x$, если:

а) расстояние между точками $A(2; 3)$ и $B(x; 1)$ равно 2;

б) расстояние между точками $M_1(-1; x)$ и $M_2(2x; 3)$ равно 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Для нахождения значения $x$ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По условию, расстояние $d$ между точками $A(2; 3)$ и $B(x; 1)$ равно 2. Подставим координаты точек и значение расстояния в формулу:

$2 = \sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 3)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$2^2 = (x - 2)^2 + (-2)^2$

$4 = (x - 2)^2 + 4$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $2$

б) Аналогично пункту а), используем формулу расстояния между точками $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

По условию, расстояние $d$ между точками $M_1(-1; x)$ и $M_2(2x; 3)$ равно 7. Подставим данные в формулу:

$7 = \sqrt{(2x - (-1))^2 + (3 - x)^2}$

$7 = \sqrt{(2x + 1)^2 + (3 - x)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7^2 = (2x + 1)^2 + (3 - x)^2$

$49 = (4x^2 + 4x + 1) + (9 - 6x + x^2)$

Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

$49 = 5x^2 - 2x + 10$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + 10 - 49 = 0$

$5x^2 - 2x - 39 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$

Ответ: $3; -2.6$