Номер 953, страница 234 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 953, страница 234.

Условие.

953 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283. Если $AD = BC = a$, а точка B имеет координаты $(b; c)$, то точка D имеет координаты $(a; 0)$, а точка C — координаты $(a + b; c)$. Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

Рис. 283

$AB^2 = b^2 + c^2, AD^2 = a^2, AC^2 = (a + b)^2 + c^2, BD^2 = (a - b)^2 + c^2$.

Отсюда получаем:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2 (AB^2 + AD^2) = 2 (a^2 + b^2 + c^2)$,

$AC^2 + BD^2 = (a + b)^2 + c^2 + (a - b)^2 + c^2 = 2 (a^2 + b^2 + c^2)$.

Таким образом,

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Докажем это утверждение с помощью метода координат. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат, а сторона $AD$ лежала на оси абсцисс $Ox$.

Пусть координаты вершин будут следующими:
• $A(0; 0)$
• $D(a; 0)$, где $a$ — длина стороны $AD$.
• $B(b; c)$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, вектор $\vec{BC}$ должен быть равен вектору $\vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $(a; 0)$. Следовательно, координаты точки $C$ можно найти, прибавив к координатам точки $B$ координаты вектора $\vec{AD}$:
$C(b+a; c+0)$, то есть $C(a+b; c)$.

Теперь, используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$, найдём квадраты длин сторон и диагоналей.

Сумма квадратов сторон:
Стороны $AB$ и $AD$:
$AB^2 = (b-0)^2 + (c-0)^2 = b^2 + c^2$
$AD^2 = (a-0)^2 + (0-0)^2 = a^2$
В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $CD = AB$ и $BC = AD$.
Следовательно, сумма квадратов всех сторон равна:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AB^2 + AD^2 + AB^2 + AD^2 = 2(AB^2 + AD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.

Сумма квадратов диагоналей:
Диагонали $AC$ и $BD$:
$AC^2 = ((a+b)-0)^2 + (c-0)^2 = (a+b)^2 + c^2$
$BD^2 = (a-b)^2 + (0-c)^2 = (a-b)^2 + c^2$
Сумма квадратов диагоналей равна:
$AC^2 + BD^2 = ((a+b)^2 + c^2) + ((a-b)^2 + c^2)$
Раскроем скобки:
$AC^2 + BD^2 = (a^2 + 2ab + b^2 + c^2) + (a^2 - 2ab + b^2 + c^2)$
Приведём подобные слагаемые:
$AC^2 + BD^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что сумма квадратов сторон и сумма квадратов диагоналей равны одному и тому же выражению:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$
$AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$
Таким образом, $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.