Номер 953, страница 234 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 953, страница 234.

Условие.

953 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283. Если $AD = BC = a$, а точка B имеет координаты $(b; c)$, то точка D имеет координаты $(a; 0)$, а точка C — координаты $(a + b; c)$. Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

Рис. 283

$AB^2 = b^2 + c^2, AD^2 = a^2, AC^2 = (a + b)^2 + c^2, BD^2 = (a - b)^2 + c^2$.

Отсюда получаем:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2 (AB^2 + AD^2) = 2 (a^2 + b^2 + c^2)$,

$AC^2 + BD^2 = (a + b)^2 + c^2 + (a - b)^2 + c^2 = 2 (a^2 + b^2 + c^2)$.

Таким образом,

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.