Номер 960, страница 240 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 960, страница 240.

Условие.

960 Какие из точек A (3; -4), B (1; 0), C (0; 5), D (0; 0) и E (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

a) $x^2 + y^2 = 25;$

б) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9;$

в) $(x - \frac{1}{2})^2 - y^2 = \frac{1}{4}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы определить, лежит ли точка на окружности (или другой кривой), нужно подставить ее координаты (x; y) в уравнение этой кривой. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка лежит на кривой. Если равенство неверное — не лежит.

Проверим каждую из точек A(3; –4), B(1; 0), C(0; 5), D(0; 0) и E(0; 1) для каждого уравнения.

а) $x^2 + y^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в точке (0; 0) и радиусом 5.

• Проверка точки A(3; –4): $x=3, y=–4$.
  $3^2 + (–4)^2 = 9 + 16 = 25$.
  $25 = 25$. Равенство верное, значит, точка A лежит на окружности.
• Проверка точки B(1; 0): $x=1, y=0$.
  $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$.
  $1 \neq 25$. Равенство неверное, точка B не лежит на окружности.
• Проверка точки C(0; 5): $x=0, y=5$.
  $0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
  $25 = 25$. Равенство верное, значит, точка C лежит на окружности.
• Проверка точки D(0; 0): $x=0, y=0$.
  $0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0$.
  $0 \neq 25$. Равенство неверное, точка D не лежит на окружности.
• Проверка точки E(0; 1): $x=0, y=1$.
  $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$.
  $1 \neq 25$. Равенство неверное, точка E не лежит на окружности.

Ответ: точки A(3; –4) и C(0; 5).

б) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9$

Это уравнение окружности с центром в точке (1; –3) и радиусом 3.

• Проверка точки A(3; –4): $x=3, y=–4$.
  $(3 - 1)^2 + (–4 + 3)^2 = 2^2 + (–1)^2 = 4 + 1 = 5$.
  $5 \neq 9$. Равенство неверное.
• Проверка точки B(1; 0): $x=1, y=0$.
  $(1 - 1)^2 + (0 + 3)^2 = 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9$.
  $9 = 9$. Равенство верное, значит, точка B лежит на окружности.
• Проверка точки C(0; 5): $x=0, y=5$.
  $(0 - 1)^2 + (5 + 3)^2 = (–1)^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$.
  $65 \neq 9$. Равенство неверное.
• Проверка точки D(0; 0): $x=0, y=0$.
  $(0 - 1)^2 + (0 + 3)^2 = (–1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
  $10 \neq 9$. Равенство неверное.
• Проверка точки E(0; 1): $x=0, y=1$.
  $(0 - 1)^2 + (1 + 3)^2 = (–1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.
  $17 \neq 9$. Равенство неверное.

Ответ: точка B(1; 0).

в) $(x - \frac{1}{2})^2 - y^2 = \frac{1}{4}$

Примечание: данное уравнение задает не окружность, а гиперболу. Вопрос "Какие из точек лежат на окружности..." может быть некорректным для этого пункта. Однако мы можем проверить, какие из точек удовлетворяют данному уравнению, то есть лежат на этой гиперболе.

• Проверка точки A(3; –4): $x=3, y=–4$.
  $(3 - \frac{1}{2})^2 - (–4)^2 = (\frac{5}{2})^2 - 16 = \frac{25}{4} - 16 = 6.25 - 16 = -9.75$.
  $-9.75 \neq \frac{1}{4}$. Равенство неверное.
• Проверка точки B(1; 0): $x=1, y=0$.
  $(1 - \frac{1}{2})^2 - 0^2 = (\frac{1}{2})^2 - 0 = \frac{1}{4}$.
  $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Равенство верное, значит, точка B лежит на кривой.
• Проверка точки C(0; 5): $x=0, y=5$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 - 5^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 25 = \frac{1}{4} - 25 = -24.75$.
  $-24.75 \neq \frac{1}{4}$. Равенство неверное.
• Проверка точки D(0; 0): $x=0, y=0$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 - 0^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 0 = \frac{1}{4}$.
  $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Равенство верное, значит, точка D лежит на кривой.
• Проверка точки E(0; 1): $x=0, y=1$.
  $(0 - \frac{1}{2})^2 - 1^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
  $-\frac{3}{4} \neq \frac{1}{4}$. Равенство неверное.

Ответ: точки B(1; 0) и D(0; 0).