Номер 956, страница 234 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 956, страница 234.

Условие.

956 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Необходимо доказать, что её диагонали равны, то есть $AC = BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle CDA$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AD$ является общей.

2. Стороны $AB$ и $CD$ равны по определению равнобедренной трапеции: $AB = CD$.

3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle BAD = \angle CDA$.

Следовательно, треугольник $\triangle DBA$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов $\angle BAD$ и $\angle CDA$. Этими сторонами являются диагонали $BD$ и $AC$.

Таким образом, $AC = BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если в трапеции диагонали равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), в которой диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция равнобедренная, то есть $AB = CD$.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. Так как $BC \parallel DE$ (поскольку $BC \parallel AD$) и $CE \parallel BD$ (по построению), то $BCED$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что противоположные стороны равны, то есть $CE = BD$.

По условию задачи дано, что $AC = BD$. Так как мы доказали, что $CE = BD$, то получаем $AC = CE$.

Это означает, что треугольник $\triangle ACE$ является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CAE = \angle CEA$.

Поскольку $CE \parallel BD$, то углы $\angle CEA$ и $\angle BDA$ являются соответственными при параллельных прямых $CE$ и $BD$ и секущей $AE$. Следовательно, $\angle BDA = \angle CEA$.

Из равенств $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle BDA = \angle CEA$ следует, что $\angle CAE = \angle BDA$, или, что то же самое, $\angle CAD = \angle BDA$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle CDA$. У них:

1. Сторона $AD$ — общая.

2. $BD = AC$ по условию.

3. $\angle BDA = \angle CAD$ как доказано выше.

Следовательно, треугольник $\triangle DBA$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CD$.

Это доказывает, что трапеция $ABCD$ является равнобедренной, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.