Номер 947, страница 233 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 2. Простейшие задачи в координатах - номер 947, страница 233.

Условие.

947 Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты:

а) $A (0; 1)$, $B (1; -4)$, $C (5; 2);$

б) $A (-4; 1)$, $B (-2; 4)$, $C (0; 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный, нужно найти длины его сторон и показать, что две из них равны. Длина отрезка между точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Найдем длины сторон треугольника с вершинами $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; 2)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

Так как $AB = AC = \sqrt{26}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону $BC$. Высота, проведенная к основанию, будет отрезок $AH$, где $H$ — середина стороны $BC$.

Найдем координаты точки $H$: $x_H = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $y_H = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$ Таким образом, $H(3; -1)$.

Найдем длину высоты $AH$. Координаты $A(0; 1)$, $H(3; -1)$. $AH = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Вычислим площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot \sqrt{13} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 13} \cdot \sqrt{13} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=AC$. Площадь треугольника равна 13.

б)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; 1)$.

Длина стороны $AB$: $AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $BC$: $BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $AC$: $AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Так как $AB = BC = \sqrt{13}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Теперь найдем площадь треугольника. В качестве основания возьмем сторону $AC$. Так как у точек $A$ и $C$ одинаковые ординаты ($y=1$), сторона $AC$ параллельна оси абсцисс.

Длина основания $AC = 4$.

Высота, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, будет перпендикулярна оси абсцисс, и ее длина равна разности ординат точки $B$ и прямой, на которой лежит основание $AC$. $h = |y_B - y_A| = |4 - 1| = 3$.

Вычислим площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Треугольник является равнобедренным, так как $AB=BC$. Площадь треугольника равна 6.