Номер 15, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Точки $P$, $R$, $S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$. Найдите длину отрезка $RT$, если $PS = 9$ см, $SR = 8$ см, $PT = 16$ см. Сколько решений имеет задача?

15. Точки $P, R, S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$. Найдите длину отрезка $RT$, если $PS = 9$ см, $SR = 8$ см, $PT = 16$ см. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи точки $P, R, S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$, следовательно, для длин отрезков выполняется равенство: $PS = PR + RS$.

Нам известны длины $PS = 9$ см и $SR = 8$ см. Подставив их в равенство, найдем длину отрезка $PR$:
$PR = PS - RS = 9 \text{ см} - 8 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Теперь нам известно взаимное расположение точек $P, R, S$ на прямой и расстояния между ними: $PR=1$ см, $RS=8$ см.

Далее нужно определить положение точки $T$. Из условия мы знаем, что $PT = 16$ см. Это означает, что точка $T$ может находиться на прямой по любую из двух сторон от точки $P$. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Точка P лежит между точками T и R.
В этом случае порядок точек на прямой будет $T-P-R-S$. Длина отрезка $RT$ будет равна сумме длин отрезков $TP$ и $PR$:
$RT = TP + PR = 16 \text{ см} + 1 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

Случай 2: Точка R лежит между точками P и T.
В этом случае порядок точек на прямой будет $P-R-S-T$, так как $PS = 9$ см, а $PT = 16$ см. Длина отрезка $PT$ будет равна сумме длин отрезков $PR$ и $RT$:
$PT = PR + RT$.
Отсюда найдем $RT$:
$RT = PT - PR = 16 \text{ см} - 1 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для длины отрезка $RT$. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: длина отрезка $RT$ может быть 15 см или 17 см; задача имеет 2 решения.