Номер 16, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $F$ так, чтобы длина отрезка $CF$ была равной 9 см. Найдите на прямой $CF$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CF$ равна:

1) 9 см;

2) 10 см;

3) 6 см.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $F$ так, чтобы длина отрезка $CF$ была равной $9 \text{ см}$. Найдите на прямой $CF$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CF$ равна:

1) $9 \text{ см}$;

2) $10 \text{ см}$;

3) $6 \text{ см}$.

1) 9 см
Пусть $M$ — искомая точка на прямой, содержащей отрезок $CF$. Длина отрезка $CF$ по условию равна 9 см. Рассмотрим различные случаи расположения точки $M$.
Если точка $M$ принадлежит отрезку $CF$ (включая его концы), то по определению расстояния на прямой сумма расстояний от $M$ до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MC + MF = CF = 9$ см. Это означает, что все точки отрезка $CF$ удовлетворяют условию.
Если точка $M$ лежит на прямой вне отрезка $CF$, то одно из расстояний ($MC$ или $MF$) будет равно сумме другого расстояния и длины отрезка $CF$. Например, если $M$ лежит на прямой за точкой $F$, то $MC = CF + MF$. Тогда сумма расстояний будет $MC + MF = (CF + MF) + MF = CF + 2MF = 9 + 2MF$. Поскольку $MF > 0$, то сумма $MC+MF > 9$ см. Аналогично, если $M$ лежит за точкой $C$, сумма также будет больше 9 см.
Таким образом, условию удовлетворяют только точки самого отрезка $CF$.
Ответ: все точки отрезка $CF$.

2) 10 см
Требуется найти точки $M$ на прямой $CF$, для которых $MC + MF = 10$ см.
Как показано в предыдущем пункте, если точка $M$ находится на отрезке $CF$, то сумма расстояний равна 9 см. Следовательно, искомые точки должны лежать на прямой $CF$, но вне отрезка $CF$.
1. Пусть точка $M$ лежит на прямой за точкой $F$. В этом случае, как мы выяснили, сумма расстояний $MC + MF = 9 + 2MF$. Приравниваем это значение к 10:$9 + 2MF = 10$$2MF = 1$$MF = 0.5$ см.Итак, одна из искомых точек находится на расстоянии 0,5 см от точки $F$ на продолжении отрезка $CF$.
2. Пусть точка $M$ лежит на прямой за точкой $C$. В этом случае сумма расстояний $MC + MF = 9 + 2MC$. Приравниваем это значение к 10:$9 + 2MC = 10$$2MC = 1$$MC = 0.5$ см.Вторая искомая точка находится на расстоянии 0,5 см от точки $C$ на продолжении отрезка $CF$.
Ответ: две точки: одна на прямой $CF$ на расстоянии 0,5 см от точки $F$ (вне отрезка), и другая на расстоянии 0,5 см от точки $C$ (вне отрезка).

3) 6 см
Требуется найти точки $M$ на прямой $CF$, для которых $MC + MF = 6$ см.
Для любых трех точек $C$, $F$, $M$, лежащих на одной прямой, выполняется неравенство треугольника (в его вырожденном виде): сумма расстояний от точки $M$ до двух других точек $C$ и $F$ не может быть меньше расстояния между самими точками $C$ и $F$. То есть, $MC + MF \ge CF$.
Поскольку по условию $CF = 9$ см, то для любой точки $M$ на прямой должно выполняться неравенство $MC + MF \ge 9$ см.
Условие задачи требует, чтобы эта сумма была равна 6 см. Так как $6 < 9$, не существует ни одной точки на прямой $CF$, которая бы удовлетворяла данному условию.
Ответ: таких точек нет.