Номер 1.37, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.37. Луч $\text{OM}$ делит угол $AOB$ пополам, а луч $\text{OK}$ делит угол $AOM$ пополам. Во сколько раз угол $KOM$ меньше угла $AOB$? Обоснуйте ответ.

Пусть величина угла $AOB$ является некоторой величиной $\alpha$. Таким образом, $\angle AOB = \alpha$.

По условию задачи, луч $OM$ делит угол $AOB$ пополам. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$. Следовательно, он делит угол на два равных угла, $\angle AOM$ и $\angle MOB$, каждый из которых равен половине исходного угла.

$\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{\alpha}{2}$.

Далее, по условию, луч $OK$ делит угол $AOM$ пополам. Это означает, что луч $OK$ является биссектрисой угла $AOM$. Он делит этот угол на два равных угла, $\angle AOK$ и $\angle KOM$.

$\angle KOM = \frac{1}{2} \angle AOM$.

Теперь мы можем выразить величину угла $KOM$ через величину исходного угла $AOB$. Для этого подставим выражение для $\angle AOM$ из первого шага во второе уравнение:

$\angle KOM = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \angle AOB) = \frac{1}{4} \angle AOB = \frac{\alpha}{4}$.

Чтобы определить, во сколько раз угол $KOM$ меньше угла $AOB$, необходимо найти отношение их величин:

$\frac{\angle AOB}{\angle KOM} = \frac{\alpha}{\frac{1}{4}\alpha} = 4$.

Это доказывает, что угол $AOB$ в 4 раза больше угла $KOM$, соответственно, угол $KOM$ в 4 раза меньше угла $AOB$.

Ответ: в 4 раза.