Номер 6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Рациональные выражения. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 6, страница 5.

Условие.

6. Найдите допустимые значения переменных в выражении:

а) $\frac{x^2 - x + 1}{4}$;

б) $\frac{x + 1}{x^2 + 9} + 2x$;

в) $\frac{14}{3x - 6}$;

г) $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)(x + 5)}$;

д) $\frac{x^2 + 1}{x(x + 3)}$;

е) $\frac{2x}{(x - 1)^2 (x^2 - 4)}$.

Ответ: а) ................... б) ................... в) ...................

г) ................... д) ................... е) ...................

Решение.

Решение 2.

а) В выражении $\frac{x^2 - x + 1}{4}$ знаменатель равен 4. Поскольку знаменатель является константой, не равной нулю, и не содержит переменную $x$, выражение определено для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

б) В выражении $\frac{x + 1}{x^2 + 9} + 2x$ слагаемое $2x$ определено для всех $x$. Для дроби необходимо, чтобы знаменатель $x^2 + 9$ не был равен нулю. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 9 \geq 9$. Знаменатель никогда не обращается в ноль, поэтому выражение определено для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) В выражении $\frac{14}{3x - 6}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение $3x - 6 = 0$.
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Следовательно, $x=2$ является недопустимым значением.
Ответ: $x \neq 2$.

г) В выражении $\frac{x^2 - 3}{(x - 2)(x + 5)}$ знаменатель $(x - 2)(x + 5)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому необходимо, чтобы $x - 2 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$.
Из первого условия: $x \neq 2$.
Из второго условия: $x \neq -5$.
Таким образом, допустимыми являются все значения, кроме 2 и -5.
Ответ: $x \neq 2$, $x \neq -5$.

д) В выражении $\frac{x^2 + 1}{x(x + 3)}$ знаменатель $x(x + 3)$ не должен быть равен нулю. Это означает, что каждый из множителей не должен быть равен нулю: $x \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$. Из второго условия получаем $x \neq -3$.
Допустимыми являются все значения, кроме 0 и -3.
Ответ: $x \neq 0$, $x \neq -3$.

е) В выражении $\frac{2x}{(x - 1)^2(x^2 - 4)}$ знаменатель $(x - 1)^2(x^2 - 4)$ не должен быть равен нулю. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для множителя $x^2 - 4$:
$(x - 1)^2(x - 2)(x + 2) \neq 0$.
Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю.
1. $(x - 1)^2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
2. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
3. $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Недопустимыми значениями являются $1$, $2$ и $-2$.
Ответ: $x \neq 1$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.