Номер 13, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Рациональные выражения. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 13, страница 7.

Условие.

13. Верно ли, что при любом допустимом значении c значение дроби:

а) $\frac{15}{c^6 + 9 + 6c^3}$ положительно;

б) $\frac{2 - 3c}{3c^3 + 6c - 4 - 2c^2}$ отрицательно?

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим дробь $\frac{15}{c^6 + 9 + 6c^3}$. Чтобы утверждать, что ее значение всегда положительно, нужно проанализировать знаки числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен 15, это положительное число.

Знаменатель дроби — это выражение $c^6 + 9 + 6c^3$. Перепишем его в более удобном виде: $c^6 + 6c^3 + 9$.

Заметим, что это выражение представляет собой формулу квадрата суммы. Пусть $a = c^3$ и $b = 3$, тогда:

$a^2 + 2ab + b^2 = (c^3)^2 + 2 \cdot c^3 \cdot 3 + 3^2 = c^6 + 6c^3 + 9$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде $(c^3 + 3)^2$.

Допустимые значения переменной $c$ — это все значения, при которых знаменатель не обращается в ноль. Найдем, когда знаменатель равен нулю:

$(c^3 + 3)^2 = 0 \implies c^3 + 3 = 0 \implies c^3 = -3 \implies c = \sqrt[3]{-3}$.

Следовательно, для любого допустимого значения $c$ ($c \neq \sqrt[3]{-3}$), выражение $c^3 + 3$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является положительным числом, то есть $(c^3 + 3)^2 > 0$.

В итоге мы имеем дробь, у которой числитель (15) положителен и знаменатель ($(c^3 + 3)^2$) также положителен при всех допустимых значениях $c$. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{2 - 3c}{3c^3 + 6c - 4 - 2c^2}$. Чтобы утверждать, что ее значение всегда отрицательно, нужно доказать, что числитель и знаменатель имеют разные знаки при всех допустимых $c$.

Преобразуем знаменатель, разложив его на множители. Сгруппируем слагаемые:

$3c^3 + 6c - 4 - 2c^2 = (3c^3 - 2c^2) + (6c - 4) = c^2(3c - 2) + 2(3c - 2)$.

Вынесем общий множитель $(3c - 2)$:

$(c^2 + 2)(3c - 2)$.

Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{2 - 3c}{(c^2 + 2)(3c - 2)}$.

Заметим, что выражение в числителе $2 - 3c$ и множитель в знаменателе $3c - 2$ противоположны по знаку: $2 - 3c = -(3c - 2)$.

Подставим это в дробь:

$\frac{-(3c - 2)}{(c^2 + 2)(3c - 2)}$.

Допустимые значения $c$ — это те, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $(c^2 + 2)(3c - 2) \neq 0$.

Множитель $c^2 + 2$ всегда больше нуля, так как $c^2 \ge 0$, а значит $c^2 + 2 \ge 2$.

Множитель $3c - 2$ не должен быть равен нулю, то есть $3c \neq 2$, $c \neq \frac{2}{3}$.

При любом допустимом значении $c$ (то есть при $c \neq \frac{2}{3}$) мы можем сократить дробь на общий множитель $(3c - 2)$:

$\frac{-1}{c^2 + 2}$.

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Числитель равен -1 (отрицательное число). Знаменатель $c^2 + 2$ всегда положителен. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно.

Таким образом, при любом допустимом значении $c$ значение дроби отрицательно.

Ответ: да, верно.