Номер 4, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 4, страница 10.

Условие.

4. Сократите дробь:

a) $\frac{a^4 - b^2}{a^2 + b} =$

б) $\frac{4c^6 - 25d^8}{-2c^3 - 5d^4} =$

в) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} =$

г) $\frac{c - 2}{c^3 - 8} =$

Решение.

Решение 2.

а)

Для сокращения дроби $\frac{a^4 - b^2}{a^2 + b}$ необходимо разложить числитель на множители. Выражение в числителе $a^4 - b^2$ является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = a^2$ и $y = b$, поэтому получаем:

$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a^2 - b)(a^2 + b)}{a^2 + b}$

Сократим общий множитель $(a^2 + b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a^2 + b \neq 0$):

$\frac{(a^2 - b)\cancel{(a^2 + b)}}{\cancel{a^2 + b}} = a^2 - b$

Ответ: $a^2 - b$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{4c^6 - 25d^8}{-2c^3 - 5d^4}$. Числитель $4c^6 - 25d^8$ представляет собой разность квадратов, так как $4c^6 = (2c^3)^2$ и $25d^8 = (5d^4)^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$4c^6 - 25d^8 = (2c^3)^2 - (5d^4)^2 = (2c^3 - 5d^4)(2c^3 + 5d^4)$

В знаменателе вынесем за скобки $-1$:

$-2c^3 - 5d^4 = -(2c^3 + 5d^4)$

Теперь наша дробь имеет вид:

$\frac{(2c^3 - 5d^4)(2c^3 + 5d^4)}{-(2c^3 + 5d^4)}$

Сокращаем общий множитель $(2c^3 + 5d^4)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{2c^3 - 5d^4}{-1} = -(2c^3 - 5d^4) = -2c^3 + 5d^4$

Ответ: $5d^4 - 2c^3$

в)

Дана дробь $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$. Числитель $a^3 + b^3$ — это сумма кубов.

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$

Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности. Сократим его в числителе и знаменателе (это выражение всегда больше нуля, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, поэтому сокращение всегда возможно).

$\frac{(a + b)\cancel{(a^2 - ab + b^2)}}{\cancel{a^2 - ab + b^2}} = a + b$

Ответ: $a + b$

г)

Дана дробь $\frac{c - 2}{c^3 - 8}$. Знаменатель $c^3 - 8$ является разностью кубов, так как $8 = 2^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x = c$ и $y = 2$, поэтому:

$c^3 - 8 = c^3 - 2^3 = (c - 2)(c^2 + c \cdot 2 + 2^2) = (c - 2)(c