Номер 4, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сократите дробь:

a) $\frac{a^4 - b^2}{a^2 + b} =$

б) $\frac{4c^6 - 25d^8}{-2c^3 - 5d^4} =$

в) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} =$

г) $\frac{c - 2}{c^3 - 8} =$

Для сокращения этих дробей воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, разностью кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммой кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(a^2 - ab + b^2)$.

а) В числителе разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$:
$\frac{a^4 - b^2}{a^2 + b} = \frac{(a^2 - b)(a^2 + b)}{a^2 + b} = a^2 - b$
Ответ: $a^2 - b$

б) В числителе разность квадратов, в знаменателе вынесем минус за скобки:
$\frac{(2c^3)^2 - (5d^4)^2}{-(2c^3 + 5d^4)} = \frac{(2c^3 - 5d^4)(2c^3 + 5d^4)}{-(2c^3 + 5d^4)} = \frac{2c^3 - 5d^4}{-1} = -(2c^3 - 5d^4) = 5d^4 - 2c^3$
Ответ: $5d^4 - 2c^3$

в) Разложим числитель по формуле суммы кубов:
$\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} = a + b$
Ответ: $a + b$

г) Разложим знаменатель по формуле разности кубов, учитывая, что $8 = 2^3$:
$\frac{c - 2}{(c - 2)(c^2 + 2c + 4)} = \frac{1}{c^2 + 2c + 4}$
Ответ: $\frac{1}{c^2 + 2c + 4}$