Номер 7, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 7, страница 11.

Условие.

7. Докажите, что если в дроби $\frac{3x^2 + 2xy + 9y^2}{4x^2 - 3xy + 5y^2}$ вместо переменных $x$ и $y$ поставить соответственно $3x$ и $3y$, то получится дробь, тождественно равная данной.

Решение.

Решение 2.

7.

Дана дробь $\frac{3x^2+2xy+9y^2}{4x^2-3xy+5y^2}$. Требуется доказать, что если в этой дроби заменить переменные $x$ на $3x$ и $y$ на $3y$, то получится дробь, тождественно равная данной.

Выполним указанную подстановку: заменим каждый $x$ на $(3x)$ и каждый $y$ на $(3y)$. Новая дробь будет иметь вид: $\frac{3(3x)^2+2(3x)(3y)+9(3y)^2}{4(3x)^2-3(3x)(3y)+5(3y)^2}$.

Теперь упростим полученное выражение. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, выполнив возведение в квадрат и умножение:

• В числителе:
  • $3(3x)^2 = 3(9x^2) = 27x^2$
  • $2(3x)(3y) = 2(9xy) = 18xy$
  • $9(3y)^2 = 9(9y^2) = 81y^2$
• В знаменателе:
  • $4(3x)^2 = 4(9x^2) = 36x^2$
  • $-3(3x)(3y) = -3(9xy) = -27xy$
  • $5(3y)^2 = 5(9y^2) = 45y^2$

Подставим упрощенные члены обратно в дробь: $\frac{27x^2+18xy+81y^2}{36x^2-27xy+45y^2}$.

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и в знаменателе. В числителе общим множителем для коэффициентов 27, 18 и 81 является 9. В знаменателе общим множителем для коэффициентов 36, -27 и 45 также является 9.

В числителе: $27x^2+18xy+81y^2 = 9(3x^2+2xy+9y^2)$.

В знаменателе: $36x^2-27xy+45y^2 = 9(4x^2-3xy+5y^2)$.

Тогда дробь примет вид: $\frac{9(3x^2+2xy+9y^2)}{9(4x^2-3xy+5y^2)}$.

Сократив общий множитель 9 в числителе и знаменателе, мы получаем: $\frac{3x^2+2xy+9y^2}{4x^2-3xy+5y^2}$.

Полученная дробь тождественно равна исходной, что и требовалось доказать.

Ответ: После подстановки $3x$ вместо $x$ и $3y$ вместо $y$ в дробь и последующих преобразований $\frac{3(3x)^2+2(3x)(3y)+9(3y)^2}{4(3x)^2-3(3x)(3y)+5(3y)^2} = \frac{27x^2+18xy+81y^2}{36x^2-27xy+45y^2} = \frac{9(3x^2+2xy+9y^2)}{9(4x^2-3xy+5y^2)}$, мы сокращаем общий множитель 9 и получаем исходную дробь $\frac{3x^2+2xy+9y^2}{4x^2-3xy+5y^2}$.