Номер 12, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 13.

Условие.

12. Сократите дробь $ \frac{(2x - 6)^2}{4x^2 - 4x - 24} $ и найдите её значение при $ x = -0,5 $.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала упростим (сократим) данную дробь, а затем подставим в упрощенное выражение значение $x$.

Сократите дробь

Исходное выражение: $\frac{(2x - 6)^2}{4x^2 - 4x - 24}$

1. Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 за скобки внутри квадрата:

$(2x - 6)^2 = (2(x - 3))^2 = 2^2 \cdot (x - 3)^2 = 4(x - 3)^2$

2. Преобразуем знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4x^2 - 4x - 24 = 4(x^2 - x - 6)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2. Таким образом, разложение имеет вид:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$

Значит, знаменатель равен: $4(x - 3)(x + 2)$.

3. Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общие множители (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{4(x - 3)^2}{4(x - 3)(x + 2)} = \frac{\cancel{4}(\cancel{x - 3})(x - 3)}{\cancel{4}(\cancel{x - 3})(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 2}$.

Найдите её значение при x = -0,5

Теперь подставим значение $x = -0,5$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{x - 3}{x + 2} = \frac{-0,5 - 3}{-0,5 + 2} = \frac{-3,5}{1,5}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{-3,5 \cdot 10}{1,5 \cdot 10} = \frac{-35}{15}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{-35 : 5}{15 : 5} = -\frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{7}{3}$.