Номер 4, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 4, страница 15.

Условие.

4. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{2y^3+5}{y^3-1} + \frac{2-y^3}{y^3-1} $ при $ y = -2; $

б) $ \frac{3x-5}{x^2-4} - \frac{2x-7}{x^2-4} $ при $ x = 2,5; $

в) $ \frac{4a+3}{a^2-2} + \frac{3a+1}{a^2-2} $ при $ a = \frac{1}{3}. $

Решение.

Решение 2.

а)

Сначала упростим выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$\frac{2y^3+5}{y^3-1} + \frac{2-y^3}{y^3-1} = \frac{(2y^3+5) + (2-y^3)}{y^3-1} = \frac{2y^3 - y^3 + 5 + 2}{y^3-1} = \frac{y^3+7}{y^3-1}$

Теперь подставим значение $y = -2$ в упрощенное выражение:

$\frac{(-2)^3+7}{(-2)^3-1} = \frac{-8+7}{-8-1} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

---

б)

Сначала упростим выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{3x-5}{x^2-4} - \frac{2x-7}{x^2-4} = \frac{(3x-5) - (2x-7)}{x^2-4} = \frac{3x-5-2x+7}{x^2-4} = \frac{x+2}{x^2-4}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

Тогда выражение примет вид:

$\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$:

$\frac{1}{x-2}$

Теперь подставим значение $x = 2,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{2,5-2} = \frac{1}{0,5} = 2$

Ответ: $2$.

---

в)

Сначала упростим выражение, сложив числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{4a+3}{a^2-2} + \frac{3a+1}{a^2-2} = \frac{(4a+3) + (3a+1)}{a^2-2} = \frac{4a+3a+3+1}{a^2-2} = \frac{7a+4}{a^2-2}$

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение.

Найдем значение числителя:

$7a+4 = 7 \cdot \frac{1}{3} + 4 = \frac{7}{3} + \frac{12}{3} = \frac{19}{3}$

Найдем значение знаменателя:

$a^2-2 = (\frac{1}{3})^2 - 2 = \frac{1}{9} - 2 = \frac{1}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{17}{9}$

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{\frac{19}{3}}{-\frac{17}{9}} = \frac{19}{3} \cdot (-\frac{9}{17}) = -\frac{19 \cdot 9}{3 \cdot 17} = -\frac{19 \cdot 3}{17} = -\frac{57}{17}$

Ответ: $-\frac{57}{17}$.