Номер 9, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 9, страница 17.

Условие.

9. Докажите, что при всех значениях $c$ $(c \ne 1)$ выражение $\frac{5c-7}{(c-1)^6} + \frac{6-c^2}{(c-1)^6} - \frac{3c}{(c-1)^6}$ принимает отрицательные значения.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства того, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех $c \neq 1$, необходимо его упростить.

Исходное выражение: $ \frac{5c-7}{(c-1)^6} + \frac{6-c^2}{(c-1)^6} - \frac{3c}{(c-1)^6} $.

Поскольку все дроби имеют одинаковый знаменатель $(c-1)^6$, мы можем объединить их, выполнив действия с числителями: $ \frac{(5c-7) + (6-c^2) - 3c}{(c-1)^6} = \frac{5c - 7 + 6 - c^2 - 3c}{(c-1)^6} $.

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $ -c^2 + (5c - 3c) + (-7 + 6) = -c^2 + 2c - 1 $.

Вынесем знак минус за скобки в числителе: $ -(c^2 - 2c + 1) $.

Выражение в скобках является формулой сокращенного умножения — полным квадратом разности: $c^2 - 2c + 1 = (c-1)^2$. Таким образом, числитель равен $-(c-1)^2$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{-(c-1)^2}{(c-1)^6} $.

Сократим полученную дробь на $(c-1)^2$. Это действие является корректным, так как по условию $c \neq 1$, что означает $c-1 \neq 0$ и $(c-1)^2 \neq 0$. $ \frac{-(c-1)^2}{(c-1)^6} = -\frac{1}{(c-1)^{6-2}} = -\frac{1}{(c-1)^4} $.

Теперь проанализируем полученное выражение $-\frac{1}{(c-1)^4}$.

Знаменатель $(c-1)^4$ всегда строго положителен при $c \neq 1$, так как любое ненулевое число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), дает положительный результат. То есть, $(c-1)^4 > 0$.

Следовательно, дробь $\frac{1}{(c-1)^4}$ также всегда будет положительной, так как ее числитель (1) и знаменатель положительны.

Знак минус, стоящий перед дробью, означает, что все выражение $-\frac{1}{(c-1)^4}$ будет всегда отрицательным для любого значения $c \neq 1$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях $c$, для которых оно определено.

Ответ: Что и требовалось доказать.