Номер 11, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 17.

Условие.

11. Докажите, что значение выражения $\frac{(c-3)^2}{c^2+4} + \frac{6c}{c^2+4} + \frac{3+2c^2}{c^2+4}$

не зависит от значения переменной c.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной c, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения мы получим константу (число), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$\frac{(c-3)^2}{c^2+4} + \frac{6c}{c^2+4} + \frac{3+2c^2}{c^2+4}$

Так как все три дроби имеют одинаковый знаменатель $c^2+4$, мы можем объединить их, сложив числители:

$\frac{(c-3)^2 + 6c + 3 + 2c^2}{c^2+4}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Для $(c-3)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(c-3)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = c^2 - 6c + 9$

Подставим это в наше выражение и получим числитель:

$c^2 - 6c + 9 + 6c + 3 + 2c^2$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(c^2 + 2c^2) + (-6c + 6c) + (9 + 3) = 3c^2 + 0 + 12 = 3c^2 + 12$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{3c^2 + 12}{c^2+4}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(c^2 + 4)}{c^2+4}$

Сократим дробь на общий множитель $(c^2+4)$. Это можно сделать, так как выражение $c^2+4$ всегда больше нуля при любом действительном значении c (поскольку $c^2 \ge 0$, то $c^2+4 \ge 4$).

$\frac{3\cancel{(c^2 + 4)}}{\cancel{(c^2+4)}} = 3$

В результате упрощения мы получили число 3. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную c, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной c.

Ответ: значение выражения равно 3 при любом значении c, следовательно, оно не зависит от c.