Номер 13, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 13, страница 18.

Условие.

13. Докажите, что значение выражения

$\frac{3n(n-1)^2}{n-3} + \frac{2(3-4n)}{n-3} - \frac{4n+6}{n-3}$

при любом натуральном n, отличном от 3, кратно 6.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Так как все три дроби имеют одинаковый знаменатель $n-3$, объединим их в одну дробь, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{3n(n-1)^2}{n-3} + \frac{2(3-4n)}{n-3} - \frac{4n+6}{n-3} = \frac{3n(n-1)^2 + 2(3-4n) - (4n+6)}{n-3} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$3n(n-1)^2 = 3n(n^2 - 2n + 1) = 3n^3 - 6n^2 + 3n$

$2(3-4n) = 6 - 8n$

$-(4n+6) = -4n - 6$

Числитель примет вид:

$(3n^3 - 6n^2 + 3n) + (6 - 8n) - (4n + 6) = 3n^3 - 6n^2 + 3n + 6 - 8n - 4n - 6 = 3n^3 - 6n^2 - 9n$

Теперь выражение выглядит так:

$$ \frac{3n^3 - 6n^2 - 9n}{n-3} $$

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель $3n$ за скобки:

$$ \frac{3n(n^2 - 2n - 3)}{n-3} $$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 - 2n - 3$. Найдем его корни: по теореме Виета произведение корней равно -3, а их сумма равна 2. Корни равны 3 и -1. Таким образом, $n^2 - 2n - 3 = (n-3)(n+1)$.

Подставим разложение в выражение:

$$ \frac{3n(n-3)(n+1)}{n-3} $$

Согласно условию, $n$ — натуральное число и $n \neq 3$, следовательно $n-3 \neq 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $(n-3)$:

$$ 3n(n+1) $$

Осталось доказать, что полученное выражение $3n(n+1)$ делится на 6 для любого натурального $n$. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

1. Делимость на 3. Выражение $3n(n+1)$ содержит множитель 3, поэтому оно всегда делится на 3.

2. Делимость на 2. Произведение $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел. Из двух последовательных чисел одно всегда является четным. Следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Так как выражение $3n(n+1)$ делится на 3 и на 2, а числа 2 и 3 взаимно простые, то выражение делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: После преобразований исходное выражение равно $3n(n+1)$. Произведение двух последовательных натуральных чисел $n(n+1)$ всегда является четным числом (делится на 2). Поэтому выражение $3n(n+1)$, содержащее множитель 3 и множитель, делящийся на 2, всегда кратно 6.