Номер 5, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 5, страница 21.

Условие.

5. Упростите выражение и найдите его значение при $y = -3:$

a) $\frac{y-2}{y^2-1} - \frac{y-1}{y^2+y} =$

б) $\frac{y+1}{y^2-4} - \frac{y-4}{y^2-2y} =$

Решение.

Решение 2.

a)

Сначала упростим данное выражение. Исходное выражение:

$$ \frac{y-2}{y^2-1} - \frac{y-1}{y^2+y} $$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $y^2-1$ является разностью квадратов: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$. В знаменателе второй дроби $y^2+y$ вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y^2+y = y(y+1)$.

Выражение принимает вид:

$$ \frac{y-2}{(y-1)(y+1)} - \frac{y-1}{y(y+1)} $$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $y(y-1)(y+1)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $(y-1)$.

$$ \frac{y(y-2)}{y(y-1)(y+1)} - \frac{(y-1)(y-1)}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-2y}{y(y-1)(y+1)} - \frac{y^2-2y+1}{y(y-1)(y+1)} $$

Выполним вычитание дробей, записав числители под общей чертой:

$$ \frac{(y^2-2y) - (y^2-2y+1)}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-2y-y^2+2y-1}{y(y-1)(y+1)} $$

Сократим подобные члены в числителе:

$$ \frac{-1}{y(y-1)(y+1)} = -\frac{1}{y(y^2-1)} $$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $y = -3$:

$$ -\frac{1}{-3((-3)^2-1)} = -\frac{1}{-3(9-1)} = -\frac{1}{-3(8)} = -\frac{1}{-24} = \frac{1}{24} $$

Ответ: $\frac{1}{24}$

б)

Упростим выражение:

$$ \frac{y+1}{y^2-4} - \frac{y-4}{y^2-2y} $$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $y^2-4$ — это разность квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$. В знаменателе второй дроби $y^2-2y$ вынесем $y$ за скобки: $y^2-2y = y(y-2)$.

Получим выражение:

$$ \frac{y+1}{(y-2)(y+2)} - \frac{y-4}{y(y-2)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $y(y-2)(y+2)$. Приведем дроби к нему. Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $(y+2)$.

$$ \frac{y(y+1)}{y(y-2)(y+2)} - \frac{(y-4)(y+2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{y^2+y}{y(y^2-4)} - \frac{y^2+2y-4y-8}{y(y^2-4)} = \frac{y^2+y}{y(y^2-4)} - \frac{y^2-2y-8}{y(y^2-4)} $$

Выполним вычитание дробей:

$$ \frac{(y^2+y) - (y^2-2y-8)}{y(y^2-4)} = \frac{y^2+y-y^2+2y+8}{y(y^2-4)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{3y+8}{y(y^2-4)} $$

Подставим значение $y = -3$ в упрощенное выражение:

$$ \frac{3(-3)+8}{-3((-3)^2-4)} = \frac{-9+8}{-3(9-4)} = \frac{-1}{-3(5)} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15} $$

Ответ: $\frac{1}{15}$