Номер 8, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 8, страница 22.

Условие.

8. Найдите значение выражения:

a) $b - \frac{6 - 35b + b^3}{b^2 - 36}$ при $b = 3,5;$

б) $c^2 - \frac{9 + 3c - 26c^2 + c^5}{c^3 - 27}$ при $c = 2,5.$

Решение.

Решение 2.

а) $b - \frac{6 - 35b + b^3}{b^2 - 36}$ при $b = 3,5$

Сначала упростим выражение. Для этого приведем его к общему знаменателю $b^2 - 36$.

$b - \frac{6 - 35b + b^3}{b^2 - 36} = \frac{b(b^2 - 36)}{b^2 - 36} - \frac{6 - 35b + b^3}{b^2 - 36} = \frac{b(b^2 - 36) - (6 - 35b + b^3)}{b^2 - 36}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{b^3 - 36b - 6 + 35b - b^3}{b^2 - 36}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(b^3 - b^3) + (-36b + 35b) - 6}{b^2 - 36} = \frac{-b - 6}{b^2 - 36}$

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем $-1$ за скобки, а в знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{-(b + 6)}{(b - 6)(b + 6)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+6)$, так как при $b = 3,5$ он не равен нулю:

$\frac{-1}{b - 6}$

Подставим значение $b = 3,5$ в полученное выражение:

$\frac{-1}{3,5 - 6} = \frac{-1}{-2,5} = \frac{1}{2,5} = \frac{10}{25} = 0,4$

Ответ: 0,4

б) $c^2 - \frac{9 + 3c - 26c^2 + c^5}{c^3 - 27}$ при $c = 2,5$

Упростим выражение, приведя его к общему знаменателю $c^3 - 27$.

$c^2 - \frac{9 + 3c - 26c^2 + c^5}{c^3 - 27} = \frac{c^2(c^3 - 27) - (9 + 3c - 26c^2 + c^5)}{c^3 - 27}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{c^5 - 27c^2 - 9 - 3c + 26c^2 - c^5}{c^3 - 27}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(c^5 - c^5) + (-27c^2 + 26c^2) - 3c - 9}{c^3 - 27} = \frac{-c^2 - 3c - 9}{c^3 - 27}$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки. Знаменатель разложим на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{-(c^2 + 3c + 9)}{(c - 3)(c^2 + 3c + 9)}$

Сократим дробь на общий множитель $(c^2 + 3c + 9)$. Этот множитель не равен нулю ни при каком значении $c$, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$ отрицателен.

$\frac{-1}{c - 3}$

Подставим значение $c = 2,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{-1}{2,5 - 3} = \frac{-1}{-0,5} = 2$

Ответ: 2