Номер 10, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 24.

Условие.

10. Докажите тождество $ \frac{1}{a-1} + \frac{1}{a+1} + \frac{2a}{a^2+1} + \frac{4a^3}{a^4+1} = \frac{8a^7}{a^8-1} $

Решение.

Решение 2.

10. Для доказательства данного тождества будем последовательно преобразовывать его левую часть, выполняя сложение дробей.

Шаг 1: Сложим первые две дроби. Общим знаменателем для них является выражение $(a-1)(a+1)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2-1$.

$ \frac{1}{a-1} + \frac{1}{a+1} = \frac{1 \cdot (a+1) + 1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1+a-1}{a^2-1} = \frac{2a}{a^2-1} $

Теперь левая часть тождества приняла вид:

$ \frac{2a}{a^2-1} + \frac{2a}{a^2+1} + \frac{4a^3}{a^4+1} $

Шаг 2: К результату, полученному на первом шаге, прибавим третью дробь из исходного выражения. Общим знаменателем будет $(a^2-1)(a^2+1)$, что по формуле разности квадратов равно $a^4-1$.

$ \frac{2a}{a^2-1} + \frac{2a}{a^2+1} = \frac{2a(a^2+1) + 2a(a^2-1)}{(a^2-1)(a^2+1)} = \frac{2a^3+2a+2a^3-2a}{a^4-1} = \frac{4a^3}{a^4-1} $

Теперь левая часть выглядит так:

$ \frac{4a^3}{a^4-1} + \frac{4a^3}{a^4+1} $

Шаг 3: Сложим оставшиеся две дроби. Их общий знаменатель $(a^4-1)(a^4+1)$ по той же формуле разности квадратов равен $a^8-1$.

$ \frac{4a^3}{a^4-1} + \frac{4a^3}{a^4+1} = \frac{4a^3(a^4+1) + 4a^3(a^4-1)}{(a^4-1)(a^4+1)} = \frac{4a^7+4a^3+4a^7-4a^3}{a^8-1} = \frac{8a^7}{a^8-1} $

В результате последовательных преобразований левая часть тождества была приведена к виду правой части:

$ \frac{8a^7}{a^8-1} = \frac{8a^7}{a^8-1} $

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Преобразование левой части выражения путем последовательного попарного сложения дробей с использованием формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ для знаменателей на каждом шаге приводит ее к виду правой части.