Номер 13, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 13, страница 25.

Условие.

13. Докажите тождество

$\frac{(a-2)(a-3)}{15} - \frac{(a-1)(a-4)}{5} + \frac{(a-1)(a-2)}{3} = \frac{a^2}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4}{15}.$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны при всех допустимых значениях переменной a. Преобразуем левую часть выражения к виду правой части.

Левая часть тождества: $$ \frac{(a-2)(a-3)}{15} - \frac{(a-1)(a-4)}{5} + \frac{(a-1)(a-2)}{3} $$

Приведем все дроби к общему знаменателю 15. Для этого домножим вторую дробь на 3, а третью — на 5: $$ \frac{(a-2)(a-3)}{15} - \frac{3(a-1)(a-4)}{15} + \frac{5(a-1)(a-2)}{15} $$

Запишем все под общей дробной чертой: $$ \frac{(a-2)(a-3) - 3(a-1)(a-4) + 5(a-1)(a-2)}{15} $$

Теперь раскроем скобки в числителе.
Первое слагаемое: $(a-2)(a-3) = a^2 - 3a - 2a + 6 = a^2 - 5a + 6$.
Второе слагаемое (с учетом множителя): $3(a-1)(a-4) = 3(a^2 - 4a - a + 4) = 3(a^2 - 5a + 4) = 3a^2 - 15a + 12$.
Третье слагаемое (с учетом множителя): $5(a-1)(a-2) = 5(a^2 - 2a - a + 2) = 5(a^2 - 3a + 2) = 5a^2 - 15a + 10$.

Подставим раскрытые выражения в числитель дроби: $$ \frac{(a^2 - 5a + 6) - (3a^2 - 15a + 12) + (5a^2 - 15a + 10)}{15} $$

Уберем скобки, обращая внимание на знаки, и приведем подобные слагаемые: $$ \frac{a^2 - 5a + 6 - 3a^2 + 15a - 12 + 5a^2 - 15a + 10}{15} $$ $$ \frac{(a^2 - 3a^2 + 5a^2) + (-5a + 15a - 15a) + (6 - 12 + 10)}{15} $$ $$ \frac{3a^2 - 5a + 4}{15} $$

Разделим полученный многочлен в числителе почленно на знаменатель: $$ \frac{3a^2}{15} - \frac{5a}{15} + \frac{4}{15} $$

Сократим коэффициенты в каждой дроби: $$ \frac{a^2}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4}{15} $$

В результате преобразований левая часть равенства приведена к виду правой части: $$ \frac{a^2}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4}{15} = \frac{a^2}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4}{15} $$ Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после преобразования левая часть стала равна правой.