Номер 11, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 24.

Условие.

11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение выражения не зависит от с:

a) $ \frac{c-1}{c-3} - \frac{12}{c^2-9} + \frac{c+1}{c+3} = $

б) $ \frac{2c+4}{c^2+2c+4} - \frac{2}{c-2} + \frac{4c+2c^3}{c^3-8} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной c, необходимо его упростить. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{c-1}{c-3} - \frac{12}{c^2-9} + \frac{c+1}{c+3} $.

Область допустимых значений переменной c определяется условиями $c-3 \neq 0$ и $c+3 \neq 0$, что эквивалентно $c \neq 3$ и $c \neq -3$.

Знаменатель второй дроби $c^2-9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $c^2-9 = (c-3)(c+3)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей в выражении.

Приведем дроби к общему знаменателю $(c-3)(c+3)$:

$ \frac{(c-1)(c+3)}{(c-3)(c+3)} - \frac{12}{(c-3)(c+3)} + \frac{(c+1)(c-3)}{(c-3)(c+3)} = $

$ = \frac{(c-1)(c+3) - 12 + (c+1)(c-3)}{(c-3)(c+3)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (c-1)(c+3) = c^2+3c-c-3 = c^2+2c-3 $

$ (c+1)(c-3) = c^2-3c+c-3 = c^2-2c-3 $

Подставим полученные выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(c^2+2c-3) - 12 + (c^2-2c-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{(c^2+c^2) + (2c-2c) + (-3-12-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{2c^2-18}{c^2-9} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(c^2-9)}{c^2-9} $

Так как в области допустимых значений $c^2-9 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(c^2-9)$.

$ \frac{2(c^2-9)}{c^2-9} = 2 $

Полученное значение 2 является константой и не зависит от переменной c, что и требовалось доказать.

Ответ: 2

б) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от c.

Исходное выражение: $ \frac{2c+4}{c^2+2c+4} - \frac{2}{c-2} + \frac{4c+2c^3}{c^3-8} $.

Область допустимых значений c определяется условиями $c-2 \neq 0$ и $c^3-8 \neq 0$. Знаменатель $c^2+2c+4$ не равен нулю ни при каких действительных c (дискриминант $D=2^2-4 \cdot 1 \cdot 4=-12<0$). Условие $c^3-8 \neq 0$ эквивалентно $c \neq 2$. Таким образом, ОДЗ: $c \neq 2$.

Знаменатель последней дроби $c^3-8$ можно разложить на множители по формуле разности кубов: $c^3-8 = c^3-2^3 = (c-2)(c^2+2c+4)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей.

Приведем дроби к общему знаменателю $(c-2)(c^2+2c+4)$:

$ \frac{(2c+4)(c-2)}{(c-2)(c^2+2c+4)} - \frac{2(c^2+2c+4)}{(c-2)(c^2+2c+4)} + \frac{4c+2c^3}{(c-2)(c^2+2c+4)} = $

$ = \frac{(2c+4)(c-2) - 2(c^2+2c+4) + 4c+2c^3}{c^3-8} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2c+4)(c-2) = 2(c+2)(c-2) = 2(c^2-4) = 2c^2-8 $

$ -2(c^2+2c+4) = -2c^2-4c-8 $

Подставим полученные выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{2c^2-8 - 2c^2-4c-8 + 4c+2c^3}{c^3-8} = \frac{(2c^2-2c^2) + (-4c+4c) + (-8-8) + 2c^3}{c^3-8} = \frac{2c^3-16}{c^3-8} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(c^3-8)}{c^3-8} $

Так как в области допустимых значений $c^3-8 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(c^3-8)$.

$ \frac{2(c^3-8)}{c^3-8} = 2 $

Полученное значение 2 является константой и не зависит от переменной c, что и требовалось доказать.

Ответ: 2