Номер 12, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 24.

Условие.

12. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной y выражение $\frac{y^3 - 4y}{y+3} + \frac{4y^2 + 15y - 81}{y^2 - 9} + 3y$ принимает только положительные значения.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает только положительные значения, сначала упростим его. Но перед этим определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$. Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю.
1. $y + 3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$
2. $y^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (y-3)(y+3) \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$ и $y \neq -3$.
Следовательно, ОДЗ: $y$ — любое действительное число, кроме $y = 3$ и $y = -3$.

Теперь приступим к упрощению выражения:
$\frac{y^3-4y}{y+3} + \frac{4y^2+15y-81}{y^2-9} + 3y$
Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$.
Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся $y$ за скобки: $y^3 - 4y = y(y^2-4)$.
Разложим на множители числитель второй дроби $4y^2+15y-81$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4y^2+15y-81 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-81) = 225 + 1296 = 1521$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-15 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
$y_2 = \frac{-15 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-54}{8} = -\frac{27}{4}$.
Таким образом, $4y^2+15y-81 = 4(y-3)(y-(-\frac{27}{4})) = (y-3)(4y+27)$.
Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$\frac{y(y^2-4)}{y+3} + \frac{(y-3)(4y+27)}{(y-3)(y+3)} + 3y$
Сократим вторую дробь на $(y-3)$, так как по ОДЗ $y \neq 3$:
$\frac{y^3-4y}{y+3} + \frac{4y+27}{y+3} + 3y$
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{y^3-4y+4y+27}{y+3} + 3y = \frac{y^3+27}{y+3} + 3y$
Числитель дроби $y^3+27$ можно разложить по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$y^3+27 = y^3+3^3 = (y+3)(y^2-3y+9)$
Подставим это в выражение:
$\frac{(y+3)(y^2-3y+9)}{y+3} + 3y$
Сократим дробь на $(y+3)$, так как по ОДЗ $y \neq -3$:
$(y^2-3y+9) + 3y = y^2 - 3y + 9 + 3y = y^2+9$.

Итак, исходное выражение при всех допустимых значениях $y$ равно $y^2+9$.
Проанализируем полученное выражение $y^2+9$.
Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 9, результат всегда будет положительным.
$y^2 \ge 0 \Rightarrow y^2+9 \ge 0+9 \Rightarrow y^2+9 \ge 9$.
Поскольку $9>0$, то и $y^2+9$ всегда больше нуля.
Таким образом, при любых допустимых значениях переменной $y$ выражение принимает только положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: После преобразований исходное выражение равно $y^2+9$. Так как для любого действительного числа $y$ выполняется неравенство $y^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $y^2+9$ равно $9$. Поскольку $9$ — положительное число, то и значение выражения всегда положительно при всех допустимых значениях $y$.