Номер 2, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 2, страница 25.

Условие.

2. Представьте в виде дроби:

а) $(\frac{3x^7}{5y^3})^2 = ....................$

б) $(\frac{2a}{c^2d^3})^3 = ....................$

в) $(\frac{0,2a^2b}{c^4})^2 = ....................$

г) $(\frac{n^5}{2m^2})^4 = ....................$

Решение.

Решение 2.

а)

Для того чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Правило выглядит так: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$.

Применяем это правило к нашему выражению:

$\left(\frac{3x^7}{5y^3}\right)^2 = \frac{(3x^7)^2}{(5y^3)^2}$

Теперь нужно возвести в степень произведения в числителе и знаменателе. Для этого используем правило $(ab)^n = a^n b^n$. Также применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{(3x^7)^2}{(5y^3)^2} = \frac{3^2 \cdot (x^7)^2}{5^2 \cdot (y^3)^2} = \frac{9 \cdot x^{7 \cdot 2}}{25 \cdot y^{3 \cdot 2}} = \frac{9x^{14}}{25y^6}$

Ответ: $\frac{9x^{14}}{25y^6}$

б)

Действуем по аналогии с предыдущим заданием. Сначала возводим в куб всю дробь, что равносильно возведению в куб числителя и знаменателя.

$\left(\frac{2a}{c^2d^3}\right)^3 = \frac{(2a)^3}{(c^2d^3)^3}$

Затем возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе, используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{2^3 \cdot a^3}{(c^2)^3 \cdot (d^3)^3} = \frac{8a^3}{c^{2 \cdot 3}d^{3 \cdot 3}} = \frac{8a^3}{c^6d^9}$

Ответ: $\frac{8a^3}{c^6d^9}$

в)

Для возведения дроби в квадрат применим те же правила. Возводим числитель и знаменатель в квадрат.

$\left(\frac{0,2a^2b}{c^4}\right)^2 = \frac{(0,2a^2b)^2}{(c^4)^2}$

В числителе возводим в квадрат каждый множитель (числовой коэффициент и переменные), в знаменателе возводим степень в степень.

$\frac{0,2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{c^{4 \cdot 2}} = \frac{0,04 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^2}{c^8} = \frac{0,04a^4b^2}{c^8}$

Ответ: $\frac{0,04a^4b^2}{c^8}$

г)

Возводим дробь в четвертую степень. Для этого возводим в четвертую степень числитель и знаменатель.

$\left(\frac{n^5}{2m^2}\right)^4 = \frac{(n^5)^4}{(2m^2)^4}$

Для числителя используем правило возведения степени в степень. Для знаменателя — правило возведения произведения в степень.

$\frac{n^{5 \cdot 4}}{2^4 \cdot (m^2)^4} = \frac{n^{20}}{16 \cdot m^{2 \cdot 4}} = \frac{n^{20}}{16m^8}$

Ответ: $\frac{n^{20}}{16m^8}$