Номер 9, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 9, страница 28.

Условие.

9. Выполните умножение:

$\frac{ax^2 - a}{x+2} \cdot \frac{x^4+2x^3}{a^2x+a^2} = \frac{a(x-1)(x+1)x^3(x+2)}{(x+2)a^2(x+1)} = \frac{x^3(x-1)}{a}$

a) $\frac{ab + ac}{4c^3} \cdot \frac{2c}{bx + cx} =$

б) $\frac{bx - by}{6x^2y^3} \cdot \left(-\frac{2x^5y^2}{ay - ax}\right) =$

в) $\frac{c^3 - c}{2a^2} \cdot \frac{8ac}{c-1} =$

г) $(x^2 - 25y^2) \cdot \frac{4x^2y}{x^2 - 10xy + 25y^2} =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, необходимо разложить числители и знаменатели на множители, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение: $\frac{ab + ac}{4c^3} \cdot \frac{2c}{bx + cx}$

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, вынеся общие множители за скобки:

$ab + ac = a(b+c)$

$bx + cx = x(b+c)$

2. Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$\frac{a(b+c)}{4c^3} \cdot \frac{2c}{x(b+c)}$

3. Перемножим числители и знаменатели и запишем под одной чертой:

$\frac{a(b+c) \cdot 2c}{4c^3 \cdot x(b+c)}$

4. Сократим общие множители. Общий множитель в числителе и знаменателе - это $(b+c)$. Также можно сократить числовые коэффициенты $2$ и $4$ на $2$, и степени переменной $c$ и $c^3$ на $c$.

$\frac{a \cdot 1 \cdot 2 \cdot c}{4 \cdot c^3 \cdot x \cdot 1} = \frac{a}{2c^2x}$

Ответ: $\frac{a}{2c^2x}$

б) Исходное выражение: $\frac{bx - by}{6x^2y^3} \cdot \left(-\frac{2x^5y^2}{ay - ax}\right)$

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$bx - by = b(x-y)$

$ay - ax = a(y-x) = -a(x-y)$

2. Подставим разложенные выражения в произведение. Знак "минус" из знаменателя второй дроби можно вынести перед дробью, и он сократится с "минусом", который уже стоит перед дробью.

$\frac{b(x-y)}{6x^2y^3} \cdot \left(-\frac{2x^5y^2}{-a(x-y)}\right) = \frac{b(x-y)}{6x^2y^3} \cdot \frac{2x^5y^2}{a(x-y)}$

3. Перемножим дроби и запишем под одной чертой:

$\frac{b(x-y) \cdot 2x^5y^2}{6x^2y^3 \cdot a(x-y)}$

4. Сократим общие множители $(x-y)$, числовые коэффициенты $2$ и $6$ на $2$, а также степени переменных $x$ и $y$:

$\frac{b \cdot 1 \cdot 2 \cdot x^5 \cdot y^2}{6 \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot a \cdot 1} = \frac{b \cdot x^{5-2}}{3a \cdot y^{3-2}} = \frac{bx^3}{3ay}$

Ответ: $\frac{bx^3}{3ay}$

в) Исходное выражение: $\frac{c^3 - c}{2a^2} \cdot \frac{8ac}{c - 1}$

1. Разложим на множители числитель первой дроби. Сначала вынесем общий множитель $c$, затем применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$c^3 - c = c(c^2 - 1) = c(c-1)(c+1)$

2. Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{c(c-1)(c+1)}{2a^2} \cdot \frac{8ac}{c-1}$

3. Перемножим дроби и запишем под одной чертой:

$\frac{c(c-1)(c+1) \cdot 8ac}{2a^2 \cdot (c-1)}$

4. Сократим общие множители $(c-1)$, числовые коэффициенты $8$ и $2$ на $2$, и переменные $a$ и $a^2$ на $a$:

$\frac{c(c+1) \cdot 8 \cdot a \cdot c}{2 \cdot a^2 \cdot 1} = \frac{4c^2(c+1)}{a}$

Ответ: $\frac{4c^2(c+1)}{a}$

г) Исходное выражение: $(x^2 - 25y^2) \cdot \frac{4x^2y}{x^2 - 10xy + 25y^2}$

1. Представим первый множитель в виде дроби со знаменателем 1:

$\frac{x^2 - 25y^2}{1} \cdot \frac{4x^2y}{x^2 - 10xy + 25y^2}$

2. Разложим на множители числитель первой дроби (как разность квадратов) и знаменатель второй дроби (как квадрат разности):

$x^2 - 25y^2 = x^2 - (5y)^2 = (x-5y)(x+5y)$

$x^2 - 10xy + 25y^2 = (x)^2 - 2(x)(5y) + (5y)^2 = (x-5y)^2$

3. Подставим разложения в выражение:

$\frac{(x-5y)(x+5y)}{1} \cdot \frac{4x^2y}{(x-5y)^2}$

4. Перемножим дроби:

$\frac{(x-5y)(x+5y) \cdot 4x^2y}{(x-5y)^2}$

5. Сократим общий множитель $(x-5y)$:

$\frac{(x+5y) \cdot 4x^2y}{x-5y} = \frac{4x^2y(x+5y)}{x-5y}$

Ответ: $\frac{4x^2y(x+5y)}{x-5y}$