Номер 12, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 29.

Условие.

12. Найдите значение выражения $4b^2 + \frac{49}{b^2}$, если известно, что $2b - \frac{7}{b} = 5$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения значения выражения $4b^2 + \frac{49}{b^2}$ воспользуемся данным нам равенством $2b - \frac{7}{b} = 5$.

Заметим, что искомое выражение состоит из квадратов членов, присутствующих в исходном равенстве: $4b^2$ это квадрат от $2b$, а $\frac{49}{b^2}$ это квадрат от $\frac{7}{b}$. Это указывает на то, что для решения задачи следует возвести в квадрат обе части исходного равенства.

Возведем в квадрат обе части уравнения $2b - \frac{7}{b} = 5$:
$(2b - \frac{7}{b})^2 = 5^2$

Для раскрытия скобок в левой части применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.
В нашем случае $a = 2b$ и $c = \frac{7}{b}$.
$(2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot (\frac{7}{b}) + (\frac{7}{b})^2 = 25$

Упростим полученное выражение:
$4b^2 - \frac{2 \cdot 2b \cdot 7}{b} + \frac{49}{b^2} = 25$
$4b^2 - 28 + \frac{49}{b^2} = 25$

Теперь из полученного уравнения можно выразить искомую величину $4b^2 + \frac{49}{b^2}$. Для этого перенесем число $-28$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$4b^2 + \frac{49}{b^2} = 25 + 28$
$4b^2 + \frac{49}{b^2} = 53$

Ответ: 53.