Номер 4, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 4, страница 32.

Условие.

4. Упростите выражение:

a) $ \frac{bx^2 - 4b}{x^3 + 1} : \frac{x - 2}{4x + 4} = $

б) $ \frac{4y^4 - 4y^2}{y^2 - y + 1} : \frac{3y^4 - 3y^3}{2y^3 + 2} = $

Решение.

Решение 2.

a)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление дробей. Для этого заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{bx^2 - 4b}{x^3 + 1} : \frac{x - 2}{4x + 4} = \frac{bx^2 - 4b}{x^3 + 1} \cdot \frac{4x + 4}{x - 2}$
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы можно было выполнить сокращение.
1. Числитель первой дроби: $bx^2 - 4b$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b(x^2 - 4)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $b(x-2)(x+2)$.
2. Знаменатель первой дроби: $x^3 + 1$. Это сумма кубов, которую раскладываем по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Получаем: $(x+1)(x^2 - x + 1)$.
3. Числитель второй дроби: $4x + 4$. Вынесем общий множитель 4 за скобки: $4(x+1)$.
4. Знаменатель второй дроби: $x-2$. Это выражение уже нельзя упростить.
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$\frac{b(x-2)(x+2)}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \cdot \frac{4(x+1)}{x-2}$
Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители здесь — это $(x-2)$ и $(x+1)$.
$\frac{b(\cancel{x-2})(x+2)}{(\cancel{x+1})(x^2 - x + 1)} \cdot \frac{4(\cancel{x+1})}{\cancel{x-2}} = \frac{b(x+2) \cdot 4}{x^2 - x + 1}$
Перемножим оставшиеся части в числителе, чтобы получить окончательный вид:
$\frac{4b(x+2)}{x^2 - x + 1}$
Ответ: $\frac{4b(x+2)}{x^2 - x + 1}$

б)

Как и в предыдущем примере, заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{4y^4 - 4y^2}{y^2 - y + 1} : \frac{3y^4 - 3y^3}{2y^3 + 2} = \frac{4y^4 - 4y^2}{y^2 - y + 1} \cdot \frac{2y^3 + 2}{3y^4 - 3y^3}$
Разложим числители и знаменатели на множители.
1. Числитель первой дроби: $4y^4 - 4y^2$. Вынесем общий множитель $4y^2$ за скобки: $4y^2(y^2 - 1)$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $4y^2(y-1)(y+1)$.
2. Знаменатель первой дроби: $y^2 - y + 1$. Этот трехчлен не раскладывается на множители с действительными корнями, но является частью формулы суммы кубов.
3. Числитель второй дроби: $2y^3 + 2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(y^3 + 1)$. Применяя формулу суммы кубов, получаем: $2(y+1)(y^2 - y + 1)$.
4. Знаменатель второй дроби: $3y^4 - 3y^3$. Вынесем общий множитель $3y^3$ за скобки: $3y^3(y-1)$.
Подставим разложенные выражения в произведение:
$\frac{4y^2(y-1)(y+1)}{y^2 - y + 1} \cdot \frac{2(y+1)(y^2 - y + 1)}{3y^3(y-1)}$
Сократим общие множители: $(y-1)$, $(y^2-y+1)$ и $y^2$.
$\frac{4\cancel{y^2}(\cancel{y-1})(y+1)}{\cancel{y^2 - y + 1}} \cdot \frac{2(y+1)(\cancel{y^2 - y + 1})}{3y^{\cancel{3}}y(\cancel{y-1})} = \frac{4(y+1) \cdot 2(y+1)}{3y}$
Перемножим оставшиеся множители в числителе:
$\frac{8(y+1)^2}{3y}$
Ответ: $\frac{8(y+1)^2}{3y}$