Номер 11, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 11, страница 35.

Условие.

11. Зная, что $\frac{5a - b}{a} = 8$, найдите значение выражения

$\frac{a^3 - 2b^3}{a^2 - 4ab + b^2} : \frac{2a^3 + 3a^2b + ab^2 + b^3}{6a^2 + 2b^2}$

Решение. Из равенства $\frac{5a - b}{a} = 8$ выразим $b$ через $a$: $b = -3a$. Вы-

полним подстановку:

$= \frac{a^3 - 2(-3a)^3}{a^2 - 4a(-3a) + (-3a)^2} : \frac{2a^3 + 3a^2(-3a) + a(-3a)^2 + (-3a)^3}{6a^2 + 2(-3a)^2}$

Решение.

Решение 2.

Решение.

Для нахождения значения выражения, сначала преобразуем данное равенство $\frac{5a - b}{a} = 8$, чтобы выразить одну переменную через другую. Предполагая, что $a \neq 0$ (так как $a$ находится в знаменателе), мы можем умножить обе части равенства на $a$:

$5a - b = 8a$

Далее выразим $b$ через $a$:

$-b = 8a - 5a$

$-b = 3a$

$b = -3a$

Теперь, когда мы установили связь между переменными, подставим $b = -3a$ в исходное выражение:

$\frac{a^3 - 2b^3}{a^2 - 4ab + b^2} : \frac{2a^3 + 3a^2b + ab^2 + b^3}{6a^2 + 2b^2}$

Рассмотрим и упростим каждую дробь по отдельности, подставляя $b = -3a$.

Первая дробь: $\frac{a^3 - 2b^3}{a^2 - 4ab + b^2}$

Упростим числитель:

$a^3 - 2b^3 = a^3 - 2(-3a)^3 = a^3 - 2(-27a^3) = a^3 + 54a^3 = 55a^3$

Упростим знаменатель:

$a^2 - 4ab + b^2 = a^2 - 4a(-3a) + (-3a)^2 = a^2 + 12a^2 + 9a^2 = 22a^2$

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{55a^3}{22a^2} = \frac{5a}{2}$

Вторая дробь: $\frac{2a^3 + 3a^2b + ab^2 + b^3}{6a^2 + 2b^2}$

Упростим числитель:

$2a^3 + 3a^2b + ab^2 + b^3 = 2a^3 + 3a^2(-3a) + a(-3a)^2 + (-3a)^3 = 2a^3 - 9a^3 + a(9a^2) - 27a^3 = 2a^3 - 9a^3 + 9a^3 - 27a^3 = -25a^3$

Упростим знаменатель:

$6a^2 + 2b^2 = 6a^2 + 2(-3a)^2 = 6a^2 + 2(9a^2) = 6a^2 + 18a^2 = 24a^2$

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{-25a^3}{24a^2} = -\frac{25a}{24}$

Теперь выполним операцию деления полученных упрощенных дробей:

$\frac{5a}{2} : \left(-\frac{25a}{24}\right)$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{5a}{2} \cdot \left(-\frac{24}{25a}\right) = -\frac{5a \cdot 24}{2 \cdot 25a}$

Сократим общие множители $a$ (так как $a \neq 0$), 5, и 2:

$-\frac{5 \cdot 24}{2 \cdot 25} = -\frac{1 \cdot 12}{1 \cdot 5} = -\frac{12}{5}$

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$-\frac{12}{5} = -2.4$

Ответ: $-2.4$