Номер 13, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 13, страница 36.

Условие.

13. Выполните деление ($n$ — натуральное число):

a) $ \frac{x^{2n} - 4}{y^{n+1}} : \frac{x^n + 2}{y^{2n+1}} = $

б) $ \frac{a^{12} (b-1)^{3n}}{c^{2n}} : \frac{a^6 (b-1)^{3n-1}}{c^{4n}} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{x^{2n} - 4}{y^{n+1}} : \frac{x^n + 2}{y^{2n+1}} = \frac{x^{2n} - 4}{y^{n+1}} \cdot \frac{y^{2n+1}}{x^n + 2}$
Разложим числитель первой дроби $x^{2n} - 4$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $x^{2n} = (x^n)^2$ и $4 = 2^2$.
$x^{2n} - 4 = (x^n)^2 - 2^2 = (x^n - 2)(x^n + 2)$
Подставим полученное выражение обратно в пример:
$\frac{(x^n - 2)(x^n + 2)}{y^{n+1}} \cdot \frac{y^{2n+1}}{x^n + 2}$
Сократим общий множитель $(x^n + 2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{x^n - 2}{y^{n+1}} \cdot y^{2n+1}$
Упростим выражение с переменной $y$, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{y^{2n+1}}{y^{n+1}} = y^{(2n+1) - (n+1)} = y^{2n+1-n-1} = y^n$
В результате получаем итоговое выражение:
$(x^n - 2)y^n$
Ответ: $(x^n - 2)y^n$

б)

Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^{12}(b-1)^{3n}}{c^{2n}} : \frac{a^6(b-1)^{3n-1}}{c^{4n}} = \frac{a^{12}(b-1)^{3n}}{c^{2n}} \cdot \frac{c^{4n}}{a^6(b-1)^{3n-1}}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$(\frac{a^{12}}{a^6}) \cdot (\frac{(b-1)^{3n}}{(b-1)^{3n-1}}) \cdot (\frac{c^{4n}}{c^{2n}})$
Упростим каждую группу, используя свойство частного степеней $\frac{x^m}{x^k} = x^{m-k}$:
- Для основания $a$: $\frac{a^{12}}{a^6} = a^{12-6} = a^6$
- Для основания $(b-1)$: $\frac{(b-1)^{3n}}{(b-1)^{3n-1}} = (b-1)^{3n - (3n-1)} = (b-1)^{3n - 3n + 1} = (b-1)^1 = b-1$
- Для основания $c$: $\frac{c^{4n}}{c^{2n}} = c^{4n - 2n} = c^{2n}$
Перемножим полученные упрощенные выражения:
$a^6(b-1)c^{2n}$
Ответ: $a^6c^{2n}(b-1)$