Номер 12, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 36.

Условие.

12. Докажите, что частное от деления дроби $ \frac{25 - a^2 + 4ab - 4b^2}{10b + 2ab - a^2 + 25} $ на дробь $ \frac{2b - 5 - a}{3a + 15} $ не зависит от значений переменных $a$ и $b$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что частное от деления дробей не зависит от значений переменных $a$ и $b$, необходимо выполнить деление и показать, что в результате получается константа (число).

Запишем операцию деления данных дробей:

$\frac{25 - a^2 + 4ab - 4b^2}{10b + 2ab - a^2 + 25} : \frac{2b - 5 - a}{3a + 15}$

Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели дробей.

1. Разложение числителя первой дроби: $25 - a^2 + 4ab - 4b^2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $25 - (a^2 - 4ab + 4b^2)$.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Теперь числитель представляет собой разность квадратов: $5^2 - (a - 2b)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(5 - (a - 2b))(5 + (a - 2b)) = (5 - a + 2b)(5 + a - 2b)$.

2. Разложение знаменателя первой дроби: $10b + 2ab - a^2 + 25$

Перегруппируем слагаемые и применим метод группировки: $(25 - a^2) + (10b + 2ab)$.

Первую группу разложим как разность квадратов: $(5 - a)(5 + a)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $2b$: $2b(5 + a)$.

Получим выражение: $(5 - a)(5 + a) + 2b(5 + a)$.

Вынесем общий множитель $(5 + a)$ за скобки: $(5 + a)(5 - a + 2b)$.

3. Разложение знаменателя второй дроби: $3a + 15$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a + 5)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное выражение:

$\frac{(5 - a + 2b)(5 + a - 2b)}{(5 + a)(5 - a + 2b)} : \frac{2b - 5 - a}{3(a + 5)}$

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{(5 - a + 2b)(5 + a - 2b)}{(5 + a)(5 - a + 2b)} \cdot \frac{3(a + 5)}{2b - 5 - a}$

Запишем все множители под одной дробной чертой и подготовимся к сокращению. Учтем, что $a+5=5+a$.

$\frac{(5 - a + 2b)(5 + a - 2b) \cdot 3(a + 5)}{(5 + a)(5 - a + 2b) \cdot (2b - 5 - a)}$

Сокращаем общие множители $(5-a+2b)$ и $(5+a)$:

$\frac{(5 + a - 2b) \cdot 3}{2b - 5 - a}$

Рассмотрим знаменатель $2b - 5 - a$. Вынесем из него $-1$ за скобку, чтобы он стал похож на числитель:

$2b - 5 - a = -( -2b + 5 + a) = -(5 + a - 2b)$.

Подставим преобразованный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{3(5 + a - 2b)}{-(5 + a - 2b)}$

Теперь мы можем сократить одинаковый множитель $(5 + a - 2b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3}{-1} = -3$

В результате упрощения мы получили число -3, которое является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $b$. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ: Частное дробей равно -3. Поскольку результат является постоянным числом, он не зависит от значений переменных $a$ и $b$, что и требовалось доказать.