Номер 10, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Деление дробей. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 35.

Условие.

10. Выполните деление:

а) $ \frac{y^2 - 2cy + 3dy - 6cd}{y^2 + 2cy - 3dy - 6cd} : \frac{y^2 - 2cy - 3dy + 6cd}{y^2 + 2cy + 3dy + 6cd} = $

1. Выполните действия:

б) $ \frac{x^3 + 9x + 4x^2 + 36}{x^3 + 3x^2 - 9x - 27} : \frac{(x - 3)^2 + 6x}{(x + 3)^2 - 18 - 6x} = $

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное выражение:

$ \frac{y^2 - 2cy + 3dy - 6cd}{y^2 + 2cy - 3dy - 6cd} : \frac{y^2 - 2cy - 3dy + 6cd}{y^2 + 2cy + 3dy + 6cd} $

Деление дробей можно заменить на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):

$ \frac{y^2 - 2cy + 3dy - 6cd}{y^2 + 2cy - 3dy - 6cd} \cdot \frac{y^2 + 2cy + 3dy + 6cd}{y^2 - 2cy - 3dy + 6cd} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели всех дробей методом группировки.

1. Числитель первой дроби: $y^2 - 2cy + 3dy - 6cd = (y^2 - 2cy) + (3dy - 6cd) = y(y - 2c) + 3d(y - 2c) = (y - 2c)(y + 3d)$.

2. Знаменатель первой дроби: $y^2 + 2cy - 3dy - 6cd = (y^2 + 2cy) - (3dy + 6cd) = y(y + 2c) - 3d(y + 2c) = (y + 2c)(y - 3d)$.

3. Числитель второй дроби: $y^2 + 2cy + 3dy + 6cd = (y^2 + 2cy) + (3dy + 6cd) = y(y + 2c) + 3d(y + 2c) = (y + 2c)(y + 3d)$.

4. Знаменатель второй дроби: $y^2 - 2cy - 3dy + 6cd = (y^2 - 2cy) - (3dy - 6cd) = y(y - 2c) - 3d(y - 2c) = (y - 2c)(y - 3d)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(y - 2c)(y + 3d)}{(y + 2c)(y - 3d)} \cdot \frac{(y + 2c)(y + 3d)}{(y - 2c)(y - 3d)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(y - 2c)$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $(y + 2c)$ в числителе и знаменателе также сокращается.

$ \frac{\cancel{(y - 2c)}(y + 3d)}{\cancel{(y + 2c)}(y - 3d)} \cdot \frac{\cancel{(y + 2c)}(y + 3d)}{\cancel{(y - 2c)}(y - 3d)} = \frac{(y + 3d)(y + 3d)}{(y - 3d)(y - 3d)} $

В результате получаем:

$ \frac{(y + 3d)^2}{(y - 3d)^2} = \left(\frac{y + 3d}{y - 3d}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{y + 3d}{y - 3d}\right)^2 $

б)

Исходное выражение:

$ \frac{x^3 + 9x + 4x^2 + 36}{x^3 + 3x^2 - 9x - 27} : \frac{(x - 3)^2 + 6x}{(x + 3)^2 - 18 - 6x} $

Сначала заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, и упорядочим члены в числителе первой дроби:

$ \frac{x^3 + 4x^2 + 9x + 36}{x^3 + 3x^2 - 9x - 27} \cdot \frac{(x + 3)^2 - 18 - 6x}{(x - 3)^2 + 6x} $

Теперь упростим и разложим на множители каждую часть выражения.

1. Числитель первой дроби: $x^3 + 4x^2 + 9x + 36 = x^2(x + 4) + 9(x + 4) = (x + 4)(x^2 + 9)$.

2. Знаменатель первой дроби: $x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = x^2(x + 3) - 9(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 9) = (x + 3)(x - 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3)^2$.

3. Числитель второй дроби (бывший знаменатель): $(x + 3)^2 - 18 - 6x = (x^2 + 6x + 9) - 18 - 6x = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

4. Знаменатель второй дроби (бывший числитель): $(x - 3)^2 + 6x = (x^2 - 6x + 9) + 6x = x^2 + 9$.

Подставим разложенные выражения в наше произведение:

$ \frac{(x + 4)(x^2 + 9)}{(x - 3)(x + 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2 + 9} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(x^2 + 9)$, $(x - 3)$ и один $(x + 3)$.

$ \frac{(x + 4)\cancel{(x^2 + 9)}}{\cancel{(x - 3)}(x + 3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}}{\cancel{x^2 + 9}} $

После сокращения остается:

$ \frac{x + 4}{x + 3} $

Ответ: $ \frac{x + 4}{x + 3} $