Номер 3, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 3, страница 38.

Условие.

3. Докажите, что выражение $\frac{a^5b^4 - a^4b^5}{(a-b)^2 + ab} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\right)$ тождественно равно целому выражению.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что данное выражение тождественно равно целому выражению, необходимо его упростить. Целое выражение — это выражение, которое не содержит деления на переменные.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^5b^4 - a^4b^5}{(a-b)^2 + ab} \cdot \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} \right) $$

Будем упрощать выражение по действиям.

1. Преобразуем первый множитель. Для этого упростим его числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^4b^4$:

$$ a^5b^4 - a^4b^5 = a^4b^4(a - b) $$

В знаменателе раскроем скобки по формуле квадрата разности и приведем подобные слагаемые:

$$ (a - b)^2 + ab = (a^2 - 2ab + b^2) + ab = a^2 - ab + b^2 $$

Таким образом, первый множитель равен:

$$ \frac{a^4b^4(a - b)}{a^2 - ab + b^2} $$

2. Преобразуем второй множитель. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a^3b^3$:

$$ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{b^3}{a^3b^3} + \frac{a^3}{a^3b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^3b^3} $$

Применим к числителю формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$$ \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^3b^3} $$

3. Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$$ \frac{a^4b^4(a - b)}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^3b^3} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$, а также на $a^3$ и $b^3$:

$$ \frac{a^{4-3}b^{4-3}(a - b)(a+b)}{1} = ab(a-b)(a+b) $$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:

$$ ab(a^2 - b^2) = a^3b - ab^3 $$

В результате упрощения мы получили многочлен $a^3b - ab^3$, который является целым выражением, поскольку не содержит операции деления на переменные. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Исходное выражение тождественно равно $a^3b - ab^3$, что является целым выражением.