Номер 10, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 10, страница 41.

Условие.

10. Представьте выражение $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2x-3}}}$ в виде рациональной дроби.

Решение.

Решение 2.

а)

Для того чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, необходимо последовательно упрощать его, начиная с самой нижней части (самого "глубокого" знаменателя).

Исходное выражение имеет вид:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2x-3}}}$

Шаг 1: Упростим выражение в самом нижнем знаменателе.

$1 + \frac{1}{2x-3} = \frac{1 \cdot (2x-3)}{2x-3} + \frac{1}{2x-3} = \frac{2x-3+1}{2x-3} = \frac{2x-2}{2x-3}$

Шаг 2: Подставим полученный результат обратно в исходное выражение.

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{2x-2}{2x-3}}}$

Теперь упростим дробь $\frac{1}{\frac{2x-2}{2x-3}}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{1}{\frac{2x-2}{2x-3}} = 1 \cdot \frac{2x-3}{2x-2} = \frac{2x-3}{2x-2}$

После подстановки выражение принимает вид:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{2x-3}{2x-2}}$

Шаг 3: Упростим новый знаменатель.

$1 + \frac{2x-3}{2x-2} = \frac{1 \cdot (2x-2)}{2x-2} + \frac{2x-3}{2x-2} = \frac{2x-2+2x-3}{2x-2} = \frac{4x-5}{2x-2}$

Шаг 4: Снова подставим полученный результат в выражение.

$1 + \frac{1}{\frac{4x-5}{2x-2}}$

Как и на шаге 2, "перевернем" дробь в знаменателе:

$\frac{1}{\frac{4x-5}{2x-2}} = \frac{2x-2}{4x-5}$

Теперь выражение выглядит так:

$1 + \frac{2x-2}{4x-5}$

Шаг 5: Выполним последнее сложение, чтобы получить окончательную рациональную дробь.

$1 + \frac{2x-2}{4x-5} = \frac{1 \cdot (4x-5)}{4x-5} + \frac{2x-2}{4x-5} = \frac{4x-5+2x-2}{4x-5} = \frac{6x-7}{4x-5}$

Таким образом, мы преобразовали исходное многоэтажное выражение в простую рациональную дробь.

Ответ: $\frac{6x-7}{4x-5}$